北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性当堂达标检测题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了1　函数的单调性，求下列函数的单调区间等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是( )

A.(x1,x3)B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.(2021陕西咸阳高二上期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
3.(2021河南南阳高三上期中)已知函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.(2021湖北新高考协作体高二下联考)函数f(x)=13x2-ln x的单调递减区间为( )
A.62,+∞B.-62,62
C.0,62D.-∞,62
6.(2021黑龙江哈尔滨三中高二下月考)函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为( )
A.0,12B.12,1
C.-∞,12,(1,+∞)D.0,12,(1,+∞)
7.(2020吉林高二下期末)函数f(x)=x+sin x在区间(0,π)内的单调性为( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在0,π2内单调递增,在π2,π内单调递减
D.在0,π2内单调递减,在π2,π内单调递增
8.(多选)下列选项中,在(-∞,+∞)上不是单调函数的有( )
A.f(x)=x4B.f(x)=x-sin x
C.f(x)=xexD.f(x)=ex-e-x-2x
9.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x2·e-x;
(3)f(x)=x+1x.
易错
10.(2021吉林长春五校高二上期末联考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x-2.
(1)求函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
11.(2020浙江金华江南中学高二月考)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
12.(2021陕西西安一中高二上期末)若函数f(x)=x2-mln x在(0,1]上为减函数,则实数m的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,2]D.(-∞,2)
13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)
C.(0,3]D.(0,3)
14.(2021重庆八中高二上月考)若函数f(x)=ex(x2-ax+a)在(2,3)上不单调,则实数a的取值范围是 .
15.(2021河北部分重点中学高二上联考)已知函数f(x)=sin x-2ax是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
16.试求函数f(x)=kx-ln x(k∈R)的单调区间.
17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.(2021天津河东高二上期末,)若函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )

A
B
C
D
2.(2021江西临川一中高二上期中,)函数f(x)=ex-cs x 的图象大致为( )
A
B
C
D
3.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为 .
4.(2020黑龙江牡丹江一中高二下期末,)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为 .
题组二 利用导数研究函数的单调性问题
5.(2020福建三明高二上期末,)若x,y∈-π2,π2,且xsin x-ysin y>0,则下列不等式一定成立的是( )
A.xy
C.|x|<|y|D.|x|>|y|
6.(2021安徽宣城二中高二下月考,)已知a=1e,b=ln33,c=ln44,则a,b,c的大小关系为(深度解析)
A.bC.c7.(多选)(2021湖南名校联盟高二下联考,)若函数y=exf(x)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.则下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)=x2B.f(x)=sin x
C.f(x)=2-xD.f(x)=ln x
8.(2021陕西宝鸡高二上期末,)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<-f'(x),则下列式子成立的是(深度解析)
A.f(2 020)>ef(2 021)
B.f(2 020)C.ef(2 020)>f(2 021)
D.ef(2 020)9.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是( )
A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln4
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
10.(2021吉林吉化一中高二上月考,)函数y=13x3+x2+mx+2是R上的单调函数,则m的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
11.(2021安徽泗县一中高二下月考,)若函数y=a(x3-x)的递减区间为-33,33,则a的取值范围是( )
A.a>0B.-11D.012.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是( )
A.(0,1]B.(1,+∞)
C.(0,1)D.[1,+∞)
13.()函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,则实数a的取值范围是 .深度解析
14.(2020首都师大附中高二下期末,)已知a∈R,函数f(x)=(x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
15.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f 2a-x>0的解集.
16.(2021河南商丘一中高二下月考,)已知函数f(x)=ln x-a(x-1)(a>0)(e=2.718…为自然对数的底数).
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当n∈N+时,证明:1+121+1221+123…1+12n深度解析
答案全解全析
§6 用导数研究函数的性质
6.1 函数的单调性
基础过关练
1.B 函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.
2.D 由题中y=f'(x)的图象可知当x<0时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,排除A、B.当x>0时,f'(x)先正后负,所以f(x)在(0,+∞)上先增后减,而选项C中图象是先减后增再减,故排除C.故选D.
3.C 由题中y=f(x)的图象可知,当x<0时,f(x)单调递增,当x>0时,f(x)先增后减再增,故当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)的符号变化依次为“+、-、+”.故选C.
4.答案 (-2,4)
解析 由题图得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得0综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4).
5.C ∵f(x)=13x2-ln x(x>0),∴f'(x)=23x-1x=2x2-33x(x>0),令f'(x)<0,解得06.D 易得函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的定义域为(0,+∞),f'(x)=2(2x-1)ln x+2(x2-x)x-2x+2=2(2x-1)ln x,令f'(x)>0,得01,
因此函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为0,12,(1,+∞).故选D.
7.A ∵f(x)=x+sin x,∴f'(x)=1+cs x,
当x∈(0,π)时,-10,
∴f(x)在(0,π)内单调递增.故选A.
8.AC 由f(x)=x4得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f'(x)=4x3<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,故f(x)=x4在(-∞,+∞)上不是单调函数,A符合.
由f(x)=x-sin x得f'(x)=1-cs x,显然f'(x)大于或等于0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为零,所以f(x)=x-sin x在(-∞,+∞)上单调递增,B不符合.
由f(x)=xex得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,故f(x)=xex在(-∞,+∞)上不是单调函数,C符合.
由f(x)=ex-e-x-2x得f'(x)=ex+e-x-2,ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0(当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立),所以f(x)=ex-e-x-2x在(-∞,+∞)上单调递增,故D不符合.故选AC.
9.解析 (1)易知函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-2x.令f'(x)=0,解得x1=33,x2=-33(舍去).当033时,f'(x)>0,则f(x)在33,+∞上单调递增.故函数f(x)的单调递减区间为0,33,单调递增区间为33,+∞.
(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞),
f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x<0时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减;当00,则f(x)在(0,2)上单调递增;当x>2时,f'(x)<0,则f(x)在(2,+∞)上单调递减.故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=1-1x2,令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x<-1时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,-1)上单调递增;当-11时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
易错警示
要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故利用导数求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
10.解析 (1)∵f(x)=-x3+3x2+9x-2,
∴f'(x)=-3x2+6x+9,
∴f'(1)=12.
又∵f(1)=-1+3+9-2=9,
∴函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-9=12(x-1),
即12x-y-3=0.
(2)由(1)得f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)·(x-3).
令f'(x)=0,解得x=-1或x=3.
当f'(x)<0时,x<-1或x>3;
当f'(x)>0时,-1∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递增区间为(-1,3).
11.解析 (1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2ax+2-43x,
由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.
(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x,
则f'(x)=-23x+2-43x=-2(x-1)(x-2)3x.
令f'(x)=0,得x=1或x=2.
当f'(x)>0时,1当f'(x)<0时,02.
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
12.A 由题意得,f'(x)=2x-mx≤0在x∈(0,1]上恒成立(不恒为0),所以m≥2x2在x∈(0,1]上恒成立,因为当x∈(0,1]时,2x2∈(0,2],所以m≥2.故选A.
13.D 由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f'(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,解得0∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
14.答案 4解析 因为函数f(x)=ex(x2-ax+a)在(2,3)上不单调,
所以函数f'(x)=ex[x2-(a-2)x]在(2,3)上存在变号零点,
由f'(x)=0可得x1=0,x2=a-2,
所以215.答案 -∞,-12
解析 易得f'(x)=cs x-2a,
因为函数f(x)=sin x-2ax是R上的增函数,
所以cs x-2a≥0在R上恒成立,
即2a≤cs x在R上恒成立,
所以2a≤(cs x)min.
又因为(cs x)min=-1,所以2a≤-1,解得a≤-12.故实数a的取值范围为-∞,-12.
16.解析 易知函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1x=kx-1x.
当k≤0时,kx-1<0,则f'(x)<0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当k>0时,令f'(x)<0,得0令f'(x)>0,得x>1k.
则当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.
综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.
17.解析 由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根,
∴3−2a3=1,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立(不恒为0).
又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一个根为-1,
∴3−2a3≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.
能力提升练
1.C 由题图得,当x∈(-∞,b)时,f'(x)≥0,当x∈(b,+∞)时,f'(x)<0,根据原函数图象与导函数图象的关系可得y=f(x)在(-∞,b)上为增函数,在(b,+∞)上为减函数,可排除A,D.由题图知f'(0)=0,故y=f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为0,可排除B.故选C.
2.D 由f(x)=ex-cs x,得f'(x)=ex+sin x.
当x>0 时,ex>1,则f'(x)=ex+sin x>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除A,C.f-π2=e-π2-cs-π2=e-π2>0,排除B.故选D.
3.答案 (0,1),(4,+∞)
解析 易得g'(x)=f'(x)ex-f(x)(ex)'(ex)2
=f'(x)-f(x)ex.
由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;
当x∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,
故函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).
4.答案 0,12∪(2,+∞)
解析 由题中图象可知y=f(x)在-∞,12和(2,+∞)上单调递增,在12,2上单调递减,
所以f'(x)>0的解集为-∞,12∪(2,+∞),f'(x)<0的解集为12,2,
由xf'(x)>0得f'(x)>0,x>0或f'(x)<0,x<0,所以xf'(x)>0的解集为0,12∪(2,+∞).
5.D 构造函数f(x)=xsin x,x∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcs x.
当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在0,π2上是增函数,从而xsin x-ysin y>0⇔xsin x>ysin y⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D.
6.B 构造函数f(x)=lnxx,则f'(x)=1−lnxx2.当x≥e时,f'(x)≤0,且只在有限个点处为0,∴函数f(x)在区间[e,+∞)上为减函数,∵e<3<4,∴f(e)>f(3)>f(4),即a>b>c.故选B.
方法技巧
比较几个数的大小的一种常见策略是构造相应的函数,把所要比较的数转化为相应函数的函数值,再借助其单调性进行判断,而导数则是研究函数单调性的有力工具.
7.CD 对于A,令g(x)=ex·x2,则g'(x)=ex·x2+2xex=ex(x2+2x),令g'(x)>0,得x<-2或x>0,所以g(x)=ex·x2在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)的定义域为R,所以f(x)=x2不具有M性质,所以A不满足题意;对于B,令g(x)=exsin x,则g'(x)=exsin x+excs x=ex(sin x+cs x)=2exsinx+π4,显然g(x)不单调,所以B不满足题意;
对于C,令g(x)=ex·2-x,则g'(x)=ex·2-x+2-xln12=ex2-x1+ln12,显然g'(x)>0恒成立,所以g(x)在R上单调递增,又f(x)的定义域为R,所以f(x)=2-x具有M性质,所以C满足题意;对于D,令g(x)=ex·ln x(x>0),则g'(x)=exln x+1x(x>0),令y=ln x+1x(x>0),则y'=1x-1x2=x-1x2(x>0),当01时,y'>0,所以y=ln x+1x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以y=ln x+1x≥1,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)的定义域为(0,+∞),所以f(x)=ln x具有M性质,所以D满足题意.故选CD.
8.A 由f(x)<-f'(x)得f(x)+f'(x)<0,令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],则g'(x)<0在R上恒成立,所以函数g(x)=exf(x)在R上单调递减,所以g(2 020)>g(2 021),即e2 020f(2 020)>e2 021f(2 021),即f(2 020)>ef(2 021),故选A.
方法技巧
利用导数解抽象函数不等式,其实质是利用导数研究对应函数的单调性,而对应函数常常需要构造.下面是四种常见的构造函数的方法:
(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).
(3)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x).
(4)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)ex.
9.AC 设函数f(x)=xlnx,x>0且x≠1,
则f'(x)=lnx-1(lnx)2=1lnx-1(lnx)2,x>0且x≠1,
[f'(x)]'=2−lnxx(lnx)3,x>0且x≠1,
当x→+∞时,[f'(x)]'<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的图象如图所示:
由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.
10.D 因为函数y=13x3+x2+mx+2是R上的单调函数,所以y'=x2+2x+m≥0或y'=x2+2x+m≤0在R上恒成立,又y'=x2+2x+m≤0在R上不恒成立,所以舍去,所以当y'≥0在R上恒成立时,有Δ=4-4m≤0,解得m≥1,故选D.
11.A 由题意得y'=a(3x2-1)=3ax-33x+33,
因为y=a(x3-x)的递减区间为-33,33,所以y'≤0对任意x∈-33,33恒成立,即ax-33x+33≤0对任意x∈-33,33恒成立.
当x∈-33,33时,x-33x+33<0恒成立,所以a>0.故选A.
12.D 由 f(x1)-f(x2)x1-x2>2,
得 f(x1)-2x1-[f(x2)-2x2]x1-x2>0,
令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x2-2x(a>0),则g(x)为增函数,
所以g'(x)=ax+x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)≤1,所以a≥1.
13.答案 (-∞,0]
解析 函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,即f'(x)=cs x-ax≥0在0,π4上恒成立,即a≤xcs x在0,π4上恒成立.令g(x)=xcs x,则g'(x)=cs x-xsin x,令h(x)=cs x-x·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcs x<0在0,π4上恒成立,
所以g'(x)在0,π4上单调递减,
又g'π4>0,所以g'(x)>0恒成立,
所以函数g(x)在0,π4上单调递增,
可得g(x)>g(0)=0,所以a≤0.
方法技巧
利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,此时可通过二次求导来解决,如本题中,g'(x)=cs x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cs x-x·sin x,再求一次导数,得h'(x)=-2sin x-xcs x,即二次求导.
14.解析 (1)当a=0时,f(x)=x2ex,则f'(x)=xex(x+2),
令f'(x)>0,得x>0或x<-2,令f'(x)<0,得-2所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞),单调递减区间为(-2,0).
(2)易得f'(x)=[x2+(a+2)x+a]ex,
令g(x)=x2+(a+2)x+a,
若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,
则g(x)≤0在(-1,1)上恒成立,
则g(-1)=1-(a+2)+a≤0,g(1)=1+(a+2)+a≤0,解得a≤-32,所以a的取值范围为-∞,-32.
15.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x-a=1−axx.
若a≤0,则f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a>0,则当00,当x>1a时,f'(x)<0,
故f(x)在0,1a上单调递增,在1a,+∞上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,当a>0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴x>0,2a-x>0,a>0,∴0设F(x)=f(x)-f2a-x,
则F(x)=ln x-ax-ln2a-x+a2a-x
=ln x-ln2a-x-2ax+2,x∈0,2a,
∴F'(x)=1x+12a-x-2a=2ax-1a2x2a-x≥0,∴F(x)在0,2a上单调递增,
又F1a=0,∴当x∈0,1a时,F(x)<0,当x∈1a,2a时,F(x)>0,
∴f(x)-f2a-x>0的解集为1a,2a.
16.解析 (1)∵函数f(x)在(1,+∞)上是单调递减函数,
∴f'(x)=1x-a≤0在(1,+∞)上恒成立,即a≥1x在(1,+∞)上恒成立.
∵x>1,∴0<1x<1,∴a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明:由(1)得当a=1时, f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)=ln x-(x-1)1),
令x=1+12n,则ln1+12n<12n,
分别取n=1,2,3,…,n,并左右分别相加,
得ln1+12+ln1+122+ln1+123+…+ln1+12n<12+122+123+…+12n=1-12n<1,
即ln1+121+1221+123…1+12n∴当n∈N+时,1+121+1221+123…1+12n方法技巧
本题考查利用导数证明与数列有关的不等式,解决这类问题常用的技巧有:
(1)化积为和:通过两边取对数,将所证不等式的一边转化为数列的前n项和的形式;
(2)切线放缩:根据不等式ln x1)进行放缩(其中直线y=x-1恰好为曲线y=ln x的切线);
(3)适当赋值:挖掘所证不等式的结构特点,适当赋值,在ln x1)中,令x=1+12n即可得到ln1+12n<12n.