高中物理3 电势差与电场强度的关系学案设计

这是一份高中物理3 电势差与电场强度的关系学案设计，共16页。

知识点一 匀强电场中电势差与电场强度的关系
[观图助学]
(1)因为每个台阶都是一样高的，所以10×0.2 m＝2 m就是两人的高度差(如图甲所示)。在匀强电场中能否用场强乘以距离得到两点间的电势差？
(2)如图是初中地理中的等高线图(图中数字的单位是m)，请同学们结合图乙探究以下几个问题：
①小山坡的左边a和右边b哪一边的地势更陡些？
②如果把一个球从山坡左、右两边滚下(不考虑摩擦)，哪边的加速度更大？
③现在把图看成是描述电势高低的等势线，图中数字的单位是V，a和b哪一边电势降落得快？哪一边的电场强度大？

甲 乙
1.关系：在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
2.关系式：U＝Ed。
3.物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
4.适用条件：匀强电场，d是沿电场方向两点间的距离。
[思考判断]
(1)公式U＝Ed适用于所有电场。(×)
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。(×)
知识点二 电场强度的另一种表达
1.表达式：E＝eq \f(UAB,d)。
2.物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的比值。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
3.场强的另一个单位：伏[特]每米，符号V/m，1 N/C＝1 V/m。
[思考判断]
(1)由公式E＝eq \f(U,d)可知，电场强度与电势差U成正比。(×)
(2)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。(√)
(3)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积。(×)
公式U＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
1 V/m＝1 J/(C·m)＝1(N·m)/(C·m)＝1 N/C，故电场强度的两个单位N/C与V/m是相同的。
核心要点 对电场强度的进一步理解
[要点归纳]
关于场强的三个表达式的比较
[试题案例]
[例1] (多选)下列说法中正确的是( )
A.E＝eq \f(U,d)适用于任何电场
B.E＝eq \f(F,q)适用于任何电场
C.E＝keq \f(Q,r2)适用于真空中的点电荷形成的电场
D.E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量
解析 E＝eq \f(U,d)只适用于匀强电场，A错误；E＝eq \f(F,q)适用于任何电场，B正确；E＝keq \f(Q,r2)适用于真空中的点电荷形成的电场，C正确；在公式U＝Ed中，E是矢量，U是标量，D错误。
答案 BC
[例2] 如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的( )
A.上方30 cm B.下方30 cm
C.上方25 cm D.下方25 cm
解析 匀强电场的场强E＝eq \f(U,d)＝eq \f(25,0.05) V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则keq \f(Q,L2)＝9×109×eq \f(5×10－9,L2) V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。
答案 B
[针对训练1] 下列说法正确的是( )
A.根据E＝eq \f(F,q)，可知电场中某点的场强与静电力成正比
B.根据E＝eq \f(kQ,r2)，可知点电荷在电场中某点产生的场强与该点电荷的电荷量Q成正比
C.根据场强叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强
D.根据U＝Ed，可知同一电场中两个点的距离越远，它们之间的电势差越大
解析 电场中某点的场强由电场自身决定，与F或q无关，A错误；点电荷在某点产生的场强大小与场源电荷量成正比，与该点到场源电荷的距离的二次方成反比，B正确；合电场的场强可能比分电场的场强大，也可能小于分电场的场强，或与分电场的场强大小相等，C错误；在匀强电场中，若沿电场线方向上两点间的距离越远，则它们之间的电势差就一定越大，在不同方向上该关系不成立，D错误。
答案 B
[针对训练2] 如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上作一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)若在圆心O处放置电荷量为10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向。(结果保留3位有效数字)
解析 (1)由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋eq \f(r,2)＝0.15 m，所以匀强电场场强E＝eq \f(U,d)＝9 000 V/m。
(2)设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则E1＝eq \f(kQ,r2)＝9×103 N/C，方向由O指向C。
C处另有匀强电场，场强E＝9×103 N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝eq \r(Eeq \\al(2,1)＋E2)≈1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上。
答案 (1)9 000 V/m (2)1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上
核心要点 对关系式U＝Ed和E＝eq \f(U,d)的理解
[观察探究]
如图所示的匀强电场中有A、B两点，A、B两点连线与电场线平行，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为UAB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：
(1)电荷所受静电力是多少？从力和位移的角度计算静电力所做功的大小。通过A、B间的电势差计算静电力做功的大小；
(2)比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？
(3)在图中，如果将电荷从A点移动到C点，再利用(1)问的推导过程试着推导，能获得何结论？(已知AB与AC的夹角为θ)
答案 (1)F＝qE WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)UAB＝Ed
(3)WAC＝qELcs θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed
[探究归纳]
1.关系式表明了电场强度与电势差的关系
(1)大小关系：由E＝eq \f(U,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小。
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
2.U＝Ed的两个推论
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。
(2)在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等。
[试题案例]
[例3] 如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×
10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角。
(1)求A、B两点间的电势差UAB；
(2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB；
(3)求电场强度E的大小，并判断其方向。
解析 (1)由题意知，静电力做负功为
WAB＝－3×10－5 J
由UAB＝eq \f(WAB,q)，得：UAB＝30 V
(2)UAB＝φA－φB
故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V
(3)A、B两点间沿电场线方向的距离为
d＝2×10－2cs 60° m＝1×10－2 m
从而得E＝eq \f(UAB,d)＝eq \f(30,0.01) V/m＝3 000 V/m
方向沿电场线指向左下方。
答案 (1)30 V (2)－31 V (3)3 000 V/m 沿电场线指向左下方
方法总结 匀强电场中两点间电势差的三种求法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
(2)应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解。
(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
[针对训练3] 如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A.UOP＝－10 sin θ(V) B.UOP＝10 sin θ(V)
C.UOP＝－10 cs θ(V) D.UOP＝10 cs θ(V)
解析 在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10sin θ(V)，故A正确。
答案 A
核心要点 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
[观察探究]
大家知道，在电场中顺着电场线电势降低，如图所示，若a点电势为8 V，b点电势为6 V，思考：c点电势为4 V吗？请说明理由。
答案 不一定，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定。
[探究归纳]
1.UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。由E＝eq \f(U,d)可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大。
2.如图所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定。
3.在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，场强E＝eq \f(UAB,d)就越大。
实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大；如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab[试题案例]
[例4] (多选)如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有( )
A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC
C.UAB解析 沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB答案 AC
方法总结 E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低。
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[针对训练4] 如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是( )
A.M点的电势与P点的电势相同
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析 根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A错误；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据UAB＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确。
答案 D
1.(匀强电场中电场强度与电势差的关系)(多选)下列关于匀强电场的结论正确的是( )
A.公式E＝eq \f(F,q)也适用于匀强电场
B.根据U＝Ed可知，任意两点的电势差与这两点的距离成正比
C.匀强电场的场强在数值上等于沿场强方向每单位长度上的电势差
D.匀强电场的场强方向总是跟电荷所受静电力的方向相同
答案 AC
2.(公式E＝eq \f(U,d)的理解应用)如图所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面的距离是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
A.竖直向下，E＝0.4 N/C B.水平向右，E＝0.4 N/C
C.水平向左，E＝40 N/C D.水平向右，E＝40 V/m
解析 题图为一组等差等势面，电场方向垂直等势面且指向电势低的方向，故场强方向水平向右，E＝eq \f(U,d)＝eq \f(10 V,0.25 m)＝40 V/m。
答案 D
3.(非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析)如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
A.等于35 V B.大于35 V
C.小于35 V D.等于15 V
解析 从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜eq \f(φa＋φc,2)＝35 V。
答案 C
4.(静电力做功、电势差、电场强度的综合计算)如图所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2 cm，两点的连线与场强方向成60°角。将一个电荷量为－2×10－5 C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1 J。问：
(1)在此过程中，静电力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
解析 (1)电势能增加多少，静电力就做多少负功，故静电力对电荷做了－0.1 J的功。
(2)由W＝qU，得UAB＝eq \f(WAB,q)＝eq \f(－0.1,－2×10－5) V＝5 000 V。
(3)由U＝Ed，得E＝eq \f(UAB,d)＝eq \f(UAB,ABcs 60°)＝5×105 V/m。
答案 (1)－0.1 J (2)5 000 V (3)5×105 V/m
基础过关
1.下列说法正确的是( )
A.由公式E＝eq \f(UAB,d)得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比
B.由公式E＝eq \f(UAB,d)得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D.公式E＝eq \f(UAB,d)只适用匀强电场
答案 D
2.在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己。若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害。则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达( )
A.50 V B.500 V
C.5 000 V D.50 000 V
解析 U＝Ed＝104×0.5 V＝5 000 V。
答案 C
3.如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定( )
A.φa＞φb＞φc B.Ea＞Eb＞Ec
C.φa－φb＝φb－φc D.Ea＝Eb＝Ec
解析 电场线是直线的电场，通常有如图所示的几种情况
题中给出的一条电场线，不一定是哪一种，因此B、C、D均不正确；其中在前三个图中可由U＝Ed定性分析。不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φa＞φb＞φc，故A正确。
答案 A
4.如图所示，在匀强电场E中，一带电粒子(不计重力)－q的初速度v0恰与电场线方向相同，则带电粒子－q在开始运动后，将( )
A.沿电场线方向做匀加速直线运动
B.沿电场线方向做变加速直线运动
C.沿电场线方向做匀减速直线运动
D.偏离电场线方向做曲线运动
解析 在匀强电场E中，带电粒子所受静电力为恒力。带电粒子受到与运动方向相反的恒定的静电力作用，产生与运动方向相反的恒定的加速度，因此，带电粒子－q在开始运动后，将沿电场线做匀减速直线运动。
答案 C
5.如图所示，匀强电场的场强E＝100 V/m，A、B点相距10 cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UBA之值为( )
A.－10 V B.10 V
C.－5 V D.－53 V
解析 根据电势差与场强的关系U＝Ed得UAB＝E·LABcs 60°＝100×0.1×cs 60° V＝5 V，且沿电场线方向电势降低，即φA>φB，所以UBA＝－5 V，所以C选项正确。
答案 C
6.如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势( )
A.等于6 V B.低于6 V
C.高于6 V D.无法确定
解析 因点电荷所形成的电场离点电荷越远电场强度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜eq \f(φA＋φC,2)＝6 V，B正确。
答案 B
7.如图所示的匀强电场场强为103 N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是( )
A.a、b之间的电势差为40 V
B.a、c之间的电势差为50 V
C.将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25 J
D.将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25 J
解析 由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故静电力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错误。
答案 A
8.a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是( )
解析 由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，所以D正确。
答案 D
9.电子的电荷量的绝对值为e，质量为m，以速度v0沿电场线方向射入场强为E的匀强电场中，如图所示。电子从A点射入，到B点速度变为零。问：
(1)A、B两点间的电势差是多大？
(2)A、B两点间的距离是多大？
解析 (1)由题意可知全过程只有电场力做功，则有
eUAB＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，解得UAB＝eq \f(mveq \\al(2,0),2e)。
(2)由UAB＝Ed，可得d＝eq \f(UAB,E)＝eq \f(mveq \\al(2,0),2eE)。
答案 (1)eq \f(mveq \\al(2,0),2e) (2)eq \f(mveq \\al(2,0),2eE)
能力提升
10.如图所示，在匀强电场中相距10 mm的两等势面AA′、BB′。其间有一静止的油滴P。已知油滴P的重力是1.6×10－4 N，所带的电荷量是＋3.2×10－9 C。则下面判断正确的是( )
A.φA＞φB，UAB＝100 V B.φA＞φB，UAB＝750 V
C.φA＜φB，UBA＝500 V D.φA＜φB，UBA＝1 000 V
解析 由于油滴静止，则油滴所受静电力与重力等大、反向，即电场方向向上，故φA＜φB。由E＝eq \f(F,q)、F＝G得E＝5×104 V/m，又由于d＝10 mm＝0.01 m，所以UBA＝Ed＝500 V，故选项C正确。
答案 C
11.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是( )
A.C点的电势φC＝5 V
B.C点的电势φC>5 V
C.C点的电势φC<5 V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D错误。
答案 C
12.如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则( )
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a加速度减小，b加速度增大
C.MN两点电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ|
D.a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
解析 由带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的静电力方向，因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质，故A选项错误；由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大，故B选项正确；因为是非匀强电场，故MN两点电势差并不等于NQ两点电势差，故C选项错误；因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，故D选项错误。
答案 B
13.如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力的大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大)
解析 (1)作电场线如图(a)所示。
(a)
由题意知，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝eq \f(U,d)，所以q＝eq \f(mg,E)＝eq \f(mgd,U)。
(2)由图(b)知，F合＝eq \r(（qE）2＋（mg）2)＝eq \r(2)mg。
(b)
(3)由动能定理得－F合xm＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
所以xm＝eq \f(mveq \\al(2,0),2\r(2)mg)＝eq \f(\r(2)veq \\al(2,0),4g)。
答案 (1)正电荷 eq \f(mgd,U) (2)eq \r(2)mg (3)eq \f(\r(2)veq \\al(2,0),4g)核心素养
物理观念
科学思维
1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed或E＝eq \f(U,d)，了解其适用条件。
2.了解带电粒子在电场中只受静电力作用时的运动情况。
1.会推导关系式U＝Ed。
2.能利用关系式U＝Ed分析非匀强电场相关问题。
3.对比有关电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中准确选用公式解决有关问题。
4.会用等分法确定等势面和电场线。
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝eq \f(F,q)
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，是反映某点电场的性质
一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝keq \f(Q,r2)
真空中点电荷场强的决定式
由E＝eq \f(F,q)和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝eq \f(U,d)
匀强电场中场强的计算式
由F＝qE和W＝qU＝Fd导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离