知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

数列的全章复习与巩固

编稿：李霞       审稿：张林娟

【学习目标】

1．系统掌握数列的有关概念和公式；

2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；

3．了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；

4．掌握常见的几种数列求和方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：数列的通项公式

数列的通项公式

一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

要点诠释：

①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

通项与前n项和的关系：

任意数列的前n项和；

要点诠释：

由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

数列的递推式：

如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

要点诠释：

利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.

要点二：等差数列

判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：（常数）是等差数列；

②中项公式法：是等差数列；

③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；

④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

等差数列的有关性质：

（1）通项公式的推广：

（2）若，则；

特别，若，则

（3）等差数列中，若.

（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列。

（5）等差数列，前n项和为

①当n为奇数时，；；；

②当n为偶数时，；；。

（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。

（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。

（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.

等差数列前n项和的最值问题：

等差数列中

①       若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；

②       若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.

要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.

要点三 ：等比数列

判定一个数列是等比数列的常用方法

（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；

（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；

（3）中项公式法：（，）是等比数列.

等比数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：

（2）若，则.

特别，若，则

（3）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列.

（4）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列。

（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，。

（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列。

（7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列。

（8）等比数列前n项积为，则

等比数列的通项公式与函数：

①方程观点：知二求一；

②函数观点：

时，是关于n的指数型函数；

时，是常数函数；

要点诠释：

当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；

当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；

当时，等比数列是摆动数列；

当时，等比数列是非零常数列。

要点四：常见的数列求和方法

公式法：

如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。

分组求和法：

将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.

裂项相消求和法：

把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.

若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,

则，如an=

错位相减求和法：

通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.

一般步骤：

，则

所以有

要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.

要点五：数列应用问题

数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.

【典型例题】

类型一：数列的概念与通项

例1．写出数列：，，，，……的一个通项公式.

【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,, ,,…可用表示；

【解析】通项公式为：.

【总结升华】

①求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项分别记作，，，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；

②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；

③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.

举一反三：

【变式1】数列：，，，，……的一个通项公式是（   　 ）

A.　　　　      B.

C.　　　    D.

【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.

【变式2】给出数表：

…     …    …    …

（1）前行共有几个数？

（2）第行的第一个数和最后一个数各是多少？

（3）求第行的各数之和；

（4）数100是第几行的第几个数？

【答案】

（1）；

（2），；

（3）；

（4）第14行的第9个数。

类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用

例2.已知三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列，求这三个数。

【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为、、，可以简化运算.

【解析】设这三个数为、、，

由题知，解得，

又∵，，构成等差数列，

∴，即，

解得或，

∴这三个数为2，6，18或18，6，2。

【总结升华】 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。

举一反三：

【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.

【答案】设等差数列首项为，公差为d，则

【高清课堂：数列综合381084 例1】

【变式2】已知两个等比数列，，满足，，

，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若数列唯一，求的值.

【答案】（1）或

（2）

例3.设是等差数列的前n项和，若，则等于(    )

A．    B．    C．    D．

【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列中， ，，也成等差数列.

【解析】由题意知，，，成等差数列，

由已知得，故公差为，

所以，故，，故，

所以．故选A。

【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.

举一反三：

【变式】 已知等差数列，, , 则（　  ）

A.125　　 B.175　　C.225　　D.250

【答案】C

方法一：∵为等差数列，

∴,,成等差数列，即

∴，

解得，∴选C.

方法二：取特殊值（适用选择题）：令，由题意可得,,

∴，，

∴,

∴选C.

方法三：,,

两式相减可得，

∴.

∴选C.

例4．设Sn、Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，满足，求.

【思路点拨】利用等差数列的前n项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用：

进行求解.

【答案】

【解析】

方法一：

方法二：设(k≠0)，

     ∴a11=S11-S10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k

       b11=T11-T10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k

    ∴.

【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系.

举一反三：

【变式1】等差数列{an}中，Sn=50，，，求项n.

【答案】，

，

由（1）+（2）得:，

.

【变式2】已知各项均为正数的等比数列，，则____.

【答案】由已知得，故.

【变式3】等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.

【答案】7，49

设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,

∴有最大值.

又S3=S11,可得n==7，

∴S7为最大值，即S7=7×13+(-2)=49.

类型三：由递推关系求数列通项公式

例5．已知数列中，，，求.

【思路点拨】把整理成，得数列为等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式.

【解析】

法一：设，解得

即原式化为

设，则数列为等比数列，且

∴

法二：∵    ①

    ②

由①－②得：

设，则数列为等比数列

∴

∴

∴

法三：，，，……，

，

∴

【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列. 若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。

举一反三：

【变式1】数列中，，则          。

【答案】

  为首项为2公比也为2的等比数列。

，（n>1）

n>1时

显然n=1时满足上式

【变式2】在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.

【答案】，∴

∴

……

将以上各式叠加，得

∴

又n=1时，

∴

类型四：与的关系的综合运用

例6.设为数列的前n项和，，n∈N+，其中k是常数．

    (1)求及；

    (2)若对于任意的m∈N+，，，成等比数列，求k的值．

【思路点拨】（1）利用n≥2时，进行求解，注意对n=1时进行验证；（2）利用等比中项及恒成立问题求解.

【解析】(1)当n＝1时，，

    当n≥2时，，

    经检验，n＝1时，上式成立，∴  ．

(2)∵  ，，成等比数列，∴  ，

即，

    整理得：，对任意的m∈N+成立，

    ∴  k＝0或1．

【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.

举一反三：

【变式1】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an.

【答案】∵，    ①

∴，解之得a1=2或a1=3.

又，    ②

由①-②得，即

∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5(n≥2).

当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列

∴a1≠3；

当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，

∴a1=2，∴an=5n-3.

【变式2】已知数列的前项和为，。

（1）求；

（2）求证：数列是等比数列。

【答案】

（1）由，得，

∴，

又，即，得。

（2）证明：当时，，

得，又，

所以为首项为，公比为的等比数列。

【变式3】（2016  浙江文）设数列{an}的前n项和为Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*。.

（I）求通项公式an；

（II）求数列{an―n―2}的前n项和。

【答案】

（1）由题意得：，则，

又当n≥2时，由an+1―an=(2Sn+1)―(2Sn－1+1)=2an，

得an+1=3an，

所以，数列{an}的通项公式为an=3n－1，n∈N*。

（2）设bn=|3n―1―n―2|，n∈N*，b1=2，b2=1。

当n≥3时，由于3n－1＞n+2，故bn=3n―1―n―2，n≥3。

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1=2，T2=3。

当n≥3时，，

所以，

类型五：数列的求和问题

例7. 求数列1，的前n项和.

【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。

【解析】

（1）当时，

（2）当时，；

（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0……，

     若为偶数，令（），则；

     若为奇数，令（），则.

【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.

举一反三：

【变式1】求数列的前n项和。

【答案】

所以可以得到：。

【变式2】求和：

【答案】a=0或b=0时，

当a=b时，；

当ab时，

类型六：应用题

例8．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加.

(1) 设n个月内的总投入为an万元，总收入为bn万元，写出an，bn；

(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.

【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。

【解析】 (1)由题意，得.

.

(2)由题意，令an<bn，

∴.

设，则，即2t2－7t＋5>0.

∵t>1，∴解得t>，即.

取n＝4，则；

取n＝5，则

∴第5月开始扭亏为盈．

【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.

举一反三：

【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.

（1）写出的表达式.

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.

【答案】

（1）依题意，第一年森林木材存量为，

1年后该地区森林木材存量为：，

2年后该地区森林木材存量为：，

3年后该地区森林木材存量为：，

4年后该地区森林木材存量为：，

… …  

年后该地区森林木材存量为：

（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，

即 ，

解得，即，

∴，

∴.   

故经过8年该地区就开始水土流失.