知识讲解_《集合》全章复习与巩固

《集合》全章复习巩固

【学习目标】

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：集合的基本概念

1．集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。

2．元素与集合的关系

（1）属于： 如果是集合A的元素，就说属于A，记作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A颠倒过来写.

（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。

3．集合中元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；

（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。

（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。

4．集合的分类

集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：

有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

要点诠释：

把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。

要点二：集合间的关系

1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB，对于任何集合A规定。

(2) 如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做.

两个集合A与B之间的关系如下：

其中记号（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。

2．子集具有以下性质：

（1）AA，即任何一个集合都是它本身的子集。

（2）如果，，那么A=B。

（3）如果，，那么。

（4）如果，，那么。

3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。

不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（或）。

4．有限集合的子集个数：

（1）n个元素的集合有2n个子集。

（2）n个元素的集合有2n－1个真子集。

（3）n个元素的集合有2n－1个非空子集。

（4）n个元素的集合有2n－2个非空真子集。

要点诠释：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．

要点三：集合的基本运算

1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。

2．用维恩图表示交集与并集。

已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。

3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：

（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；

A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。

（2）；。

（3）德摩根定律：；。；

（4）；。

4．全集与补集

（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作。数学表达式：若，则U中子集A的补集为。

（2）补集与全集的性质

①

②，。

③，。

5．空集的性质

空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。

【典型例题】

类型一：集合的含义与表示

例1．选择恰当的方法表示下列集合。

（1）“mathematics”中字母构成的集合；

（2）不等式的解集；

（3）函数的自变量的取值范围。

【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。

【解析】（1）；

（2）或

（3）或

【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。

举一反三：

【变式1】将集合表示成列举法，正确的是（   ）

A.{2，3}   　 B.{（2，3）}  　  C.{x=2，y=3}  　  D.（2，3）

【答案】B

【变式2】已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为              （    ）

Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3

【答案】Ｃ

例2．若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。

【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。

【答案】

【解析】

由，可得且，

则有或解得或（舍去）

故

【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。

举一反三：

【变式1】（2015秋 安徽省无为县期末）已知集合A={a―2，12，2a2+5a}，且―3∈A，求a的值．

【答案】

【解析】∵－3∈A，

∴a―2=―3，或2a2+5a=―3，

得：a=―1，或，

检验知：a=―1不满足集合元素的互异性，

∴．

例3．已知集合

（1）若A是空集，求的取值范围。

（2）若A中只有一个元素，求的值。

（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围。

【答案】（1） （2）0，   （3）或者m=0

【解析】

（1）当时，，A不为空集，则不满足题意。

当m≠0时，若A为空集，则一元二次方程实数范围内无解，

即,。

综上若A为空集，则。

（2）由集合中只含有一个元素可得，方程有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：

当时，可得是一次方程，故满足题意.

当m≠0时，则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时的值，可求得为.故的取值为0，.

（3）∵A中元素至多只有一个 ，∴有以下两种情况存在：

集合A是空集；集合A是只有一个元素．

综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, 或者m=0.

【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。

类型二：集合的基本关系

    例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，若AB，则a的取值范围是________。

【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。

【解析】AB={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：

由此可知：a≤1。

【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。

举一反三：

【变式1】  已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范围。

【解析】

（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1

（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2

（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1
综上，a≤-2或a≥1/2

【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是________。

【思路点拨】  由题设，C={1，3，5，7，9}。因为AB，AC，可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1，3，5，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数即为{1，3，5}的子集的个数。

【解析】由已知作Venn图

{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：；

{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；

{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；

{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。

由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。

例5．设集合,若，求实数的范围。

  【答案】或

【解析】

，或

当时，即，则是方程的两根，代入解得

当时，分两种情况：

（1）若，则，解得。

（2）若，则方程有两个相等的实数根。

，解得，此时，满足条件。

综上可知，所求实数的范围为或。

【总结升华】要解决此题，应明确的具体含义：一是，二是。而时还应考虑能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。

举一反三：

【变式】已知集合．

（1）若，求 ；（2）若，求实数的取值所组成的集合．

【答案】详见解析

【解析】（1）由题意，

           当时，

      （2）由题意，

∴  当时，

              当时，

类型三：集合的基本运算

例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（    ）

A．3个    B．2个    C．1个    D．无穷多个

【答案】B

【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．

【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．

举一反三：

【变式1】已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x关系的韦恩图是（   ）

A．               B．                  C．                    D．

【答案】B

【高清课堂：集合与函数性质综合377492例4】

【变式2】设全集为，，，

求及．

 【答案】=；=.

例7．若集合A={x｜x2―ax+a2―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，满足A∩B，且A∩C=，则实数a的值是________。

【思路点拨】  由题设，A∩B且A∩C=知，2，3与集合A的关系，再进行解答。

【解析】  由已知：3∈A，2A，则32―3a+a2―19=0，即a=5或a=―2。

当a=5时，A={2，3}，与题意矛盾；

当a=―2时，A={―5，3}，符合题意。

由上述分析知a=―2。

【总结升华】  集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质，再把集合中的元素一一找出来。

例8．（2016春 江西省抚州期末）已知集合A={x｜x2―2x―8≤0}，B={x｜x2―(2m―3)x+m(m―3)≤0，m∈R}．

（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；

（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．

【思路点拨】（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．

    （2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．

【答案】

【解析】（1）由已知得A={x｜x2―2x―8≤0，x∈R}=[―2，4]，

B={x｜x2―(2m―3)x+m2―3m≤0，x∈R，m∈R}=[m－3，m]．

∵A∩B=[2，4]，∴，∴m=5．

（2）∵B=[m－3，m]，∴．

∵，

∴m－3＞4或m＜－2．

∴m＞7或m＜－2．

∴m∈（－∞，－2）∪（7，+∞）

【总结升华】本题考查集合之间的关系与参数的取值，本题解题的关键是利用集合之间的关系，得到不等式之间的关系．

举一反三：

【变式1】  已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求实数k的取值范围。

【解析】

A∩B=，

当时，2k－1<k+1，即k<2.

当时，k+1>5或2k－1<－2  ，即k>4。

综上知。

    例9．已知集合．

（Ⅰ）求；；

（Ⅱ）若，求a的取值范围．

【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）∵

∴ 如图，；

或

∴ 或

（Ⅱ）画数轴同理可得：．

【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．

举一反三：

【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x＜7}，，若A∪B=R，求实数k的取值范围。

【解析】在数轴上画出集合A

要使A∪B=R，即且

解得。