2020-2021学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 

C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线

2．（3分）要使分式有意义，应满足的条件是　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． 

C． D．

4．（3分）如果把中的和都变为原来的5倍，那么分式的值　　

A．变为原来的5倍 B．不变 

C．变为原来的 D．变为原来的4倍

5．（3分）长度为、、、的4条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　

A． B． C． D．

7．（3分）若与的乘积中不含的一次项，则的值为　　

A． B．0 C． D．3

8．（3分）如图，已知，，点，在边上，．若，则的长为　　

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

9．（3分）如图，已知正六边形的边长为2，，分别是和的中点，是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论：

①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有　　个．

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共18分）

11．点关于轴对称点的坐标是　 　．

12．（3分）若是一个完全平方式，则的值是　　．

13．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是　　．

14．（3分）如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为5，则的长为　　．

15．（3分）关于的分式方程有增根，则的值为　　．

16．（3分）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，，，则　　度．

三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4分）计算：．

18．（4分）分解因式：．

19．（6分）计算：

（1）；

（2）．

20．（6分）解方程：．

21．（8分）已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．

（1）求证：；

（2）判断点是否在的角平分线上，并说明理由．

22．（10分）如图，三个顶点的坐标分别为、、．

（1）若△与关于轴成轴对称，作出△；

（2）若为轴上一点，使得周长最小，在图中作出点，并写出点的坐标为　　；

（3）计算的面积．

23．（10分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．

（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？

24．（12分）已知中，，点是边上一点，点为边上一点．

（1）如图1，若，连接，以为一边作等腰直角，，连接，求证：．

（2）如图2，若，以为一边作等腰直角，，连接，求的度数．

（3）如图3，若把（1）中的条件改为：，以为一边作等边，连接．求的度数．

25．（12分）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）在点、点运动过程中，　　；

（3）如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论．

2020-2021学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 

C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：．

2．（3分）要使分式有意义，应满足的条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：要使分式有意义，应满足的条件是：，

解得：．

故选：．

3．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．，故本选项不合题意；

．，故本选项不合题意；

．，正确；

．，故本选项不合题意；

故选：．

4．（3分）如果把中的和都变为原来的5倍，那么分式的值　　

A．变为原来的5倍 B．不变 

C．变为原来的 D．变为原来的4倍

【解答】解：，

即分式的值不变．

故选：．

5．（3分）长度为、、、的4条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：，，可以构成三角形；

，，可以构成三角形；

，，可以构成三角形；

所以可以构成3个不同的三角形．

故选：．

6．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，，

由三角形的外角性质得，，

，

．

故选：．

7．（3分）若与的乘积中不含的一次项，则的值为　　

A． B．0 C． D．3

【解答】解：，

与的乘积中不含的一次项，

，

解得：．

故选：．

8．（3分）如图，已知，，点，在边上，．若，则的长为　　

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【解答】解：过点作于点，

，，，

，

，，，

，

．

故选：．

9．（3分）如图，已知正六边形的边长为2，，分别是和的中点，是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，，交于点，连接．

正六边形中，，分别是和的中点，

是正六边形的对称轴，

，

，

，

当点与点重合时，的值最小，

，，

，

，

，

故选：．

10．（3分）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论：

①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有　　个．

A．4 B．3 C．2 D．1

【解答】解：，

，

即，

在和中，

，

，，故②正确；

，

由三角形的外角性质得：

，

，故①正确；

法一：作于，于，如图所示，

则，

，

，

平分，故④正确；

法二：，

，

、、、四点共圆，

，

同理可得：、、、四点共圆，

，

平分，

故④正确；

假设平分，则，

在与中，

，

，

，

，

，

而，故③错误；

正确的个数有3个；

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共18分）

11．点关于轴对称点的坐标是　　．

【解答】解：首先可知点，再由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，可得：点关于轴的对称点的坐标是．

12．（3分）若是一个完全平方式，则的值是　　．

【解答】解：是一个完全平方式，

，

故答案为：．

13．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是　5　．

【解答】解：设该多边形的边数为，

由题意可知：

解得：

故答案为：5．

14．（3分）如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为5，则的长为　2　．

【解答】解：过点作于，如图，

的面积为5，

，

而，

，

平分，，，

．

故答案为2．

15．（3分）关于的分式方程有增根，则的值为　　．

【解答】解：分式方程去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：，

解得：．

故答案为：．

16．（3分）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，，，则　26　度．

【解答】解：设，

是线段的垂直平分线，

，

，

，

平分，

，

，

解得，，即，

故答案为：26．

三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4分）计算：．

【解答】解：

．

18．（4分）分解因式：．

【解答】解：

．

19．（6分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

20．（6分）解方程：．

【解答】解：去分母得：，

去括号得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

21．（8分）已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．

（1）求证：；

（2）判断点是否在的角平分线上，并说明理由．

【解答】证明：（1），，

，

在和中，

，

，

；

（2）点在的角平分线上．

理由：连接，

，

，

又，

，

，

在和中，

，

．

，

点在的角平分线上．

22．（10分）如图，三个顶点的坐标分别为、、．

（1）若△与关于轴成轴对称，作出△；

（2）若为轴上一点，使得周长最小，在图中作出点，并写出点的坐标为　　；

（3）计算的面积．

【解答】解：（1）如图所示，△即为所求：

（2）点即为所求，；

故答案为：；

（3）的面积为：．

23．（10分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．

（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？

【解答】解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，

根据题意可得：，

解得：，

经检验得：是原方程的根，

则，

答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；

（2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，

故，

解得：，

故，

答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．

24．（12分）已知中，，点是边上一点，点为边上一点．

（1）如图1，若，连接，以为一边作等腰直角，，连接，求证：．

（2）如图2，若，以为一边作等腰直角，，连接，求的度数．

（3）如图3，若把（1）中的条件改为：，以为一边作等边，连接．求的度数．

【解答】解：（1），

，

，

，，

，

；

（2）如图2，

在中，，，

，

过点作交于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）如图3，

在中，，，

，

过点作交于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

25．（12分）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）在点、点运动过程中，　60或120　；

（3）如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：为等边三角形，

，，

点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，

，

在和中，

，

；

（2）解：①当，在线段，上时，

为等边三角形，

，

，

，

是的外角，

，

②当，在，的延长线上时，如图3所示：

同法可证：，

，

；

综上所述，或．

故答案为：60或120；

（3）解：与的数量关系为，理由如下：

延长到，使，连接，以为边作等边，连接，如图2所示：

，

、、三点共线，

点为边中点，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

．

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日期：2021/12/2 14:56:45；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125