2019-2020学年广东省广州市荔湾区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市荔湾区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列成语中描述的事件必然发生的是
A. 水中捞月B. 日出东方C. 守株待兔D. 拔苗助长

3. 以原点为旋转中心，把点 A4,5 逆时针旋转 90∘，得点 B，则点 B 的坐标是
A. −4,5B. −5,4C. −4,−5D. 5,−4

4. 抛物线 y=x2+kx−1 与 x 轴交点的个数为
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 以上都不对

5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，若 ∠BAC=20∘，AD=DC，则 ∠DAC 的度数是
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 70∘

6. 如图，△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，△OAB 与 △OCD 的面积分别是 S1 与 S2，周长分别是 C1 与 C2，则下列说法正确的是
A. C1C2=32B. S1S2=32C. OBCD=32D. OAOD=32

7. 如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径 r=1，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90∘，则 R 的值是
A. R=2B. R=3C. R=4D. R=5

8. 在同一直角坐标系中，反比例函数 y=abx 与一次函数 y=ax+b 的图象可能是
A. B.
C. D.

9. 关于 x 的二次函数 y=x2−mx+5，当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大，则实数 m 的取值范围是
A. m<2B. m=2C. m≤2D. m≥2

10. 如图，已知 ⊙O 的半径为 3，OA=8，点 P 为 ⊙O 上一动点，以 PA 为边作等边 △PAM，则线段 OM 的长的最大值为
A. 14B. 9C. 12D. 11

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 将抛物线 y=2x2 的图象向上平移 1 个单位后，所得抛物线的解析式为 ．

12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在函数 y=2x（x>0）的图象上，AC⊥x 轴于点 C，连接 OA，则 △OAC 面积为 ．

13. 在一个不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共 60 个，这些球的形状、大小、质地等完全相同，小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是 0.15，摸出白球的频率 0.45，那么盒子中黄球的个数很可能是 个．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，如果 CD=4，那么 AD⋅BD 的值是 ．

15. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠A=60∘，BC=63，则 ⊙O 的半径是 ．

16. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③当 x>−1 时，y 的值随 x 值的增大而增大；④当函数值 y<0 时，自变量 x 的取值范围是 x<−1 或 x>5；⑤ 8a+7b+2c>0．其中正确的结论是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，在Rt△OAB 中，∠OAB=90∘，且点 B 的坐标为 4,2．
（1）画出 △OAB 关于点 O 成中心对称的 △OA1B1，并写出点 B1 的坐标．
（2）求出以点 B1 为顶点，并经过点 B 的二次函数关系式．

18. 如图，已知 AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC，求证：△DAB∽△EAC．

19. 两会期间，记者随机抽取参会的部分代表，对他们某天发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数nA0≤n<3B3≤n<6C6≤n<9D9≤n<12E12≤n<15F15≤n<18
（1）求得样本容量为 ，并补全直方图．
（2）如果会议期间组织 1700 名代表参会，请估计在这一天里发言次数不少于 12 次的人数．
（3）已知A组发表提议的代表中恰有 1 位女士，E组发表提议的代表中只有 2 位男士，现从A组与E组中分别抽一位代表写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位代表恰好都是男士的概率．

20. 学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为 30 米的篱笆围成．已知墙长为 18 米，设花圃垂直于墙的一边长为 x 米，花圃的面积为 y 平方米．
（1）求出 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．
（2）当 x 为何值时，y 有最大值?最大值是多少?

21. 如图，正方形 ABCD，△ABE 是等边三角形，M 是正方形 ABCD 对角线 AC（不含点 A）上任意一点，将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AN，连接 EN，DM．求证：EN=DM．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠BAC 的角平分线，以 AB 上一点 O 为圆心，AD 为弦作 ⊙O．
（1）尺规作图：作出 ⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）．
（2）求证：BC 为 ⊙O 的切线．

23. 如图，在四边形 OABC 中，BC∥AO，∠AOC=90∘，点 A5,0，B2,6，点 D 为 AB 上一点，且 ADBD=12，双曲线 y1=k1x（k1>0）在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于 x 点 E．
（1）求双曲线的解析式．
（2）一次函数 y2=k2x+b 经过 D，E 两点，结合图象，写出不等式 k1x
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为 2,4，直线 x=2 与 x 轴相交于点 B，连接 OA，抛物线 y=x2 从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 x=2 交于点 P，顶点 M 到 A 点时停止移动．
（1）求线段 OA 所在直线的函数解析式．
（2）设抛物线顶点 M 的横坐标为 m．
①用含 m 的代数式表示点 P 的坐标．
②当 m 为何值时，线段 PB 最短．
（3）当线段 PB 最短时，平移后的抛物线上是否存在点 Q，使 S△QMA=2S△PMA．若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图①，A−5,0，OA=OC，点 B，C 关于原点对称，点 Ba,a+1（a>0）．
（1）求 B，C 坐标．
（2）求证：BA⊥AC．
（3）如图②，将点 C 绕原点 O 顺时针旋转 α 度（0∘<α<180∘），得到点 D，连接 DC，问：∠BDC 的角平分线 DE，是否过一定点?若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为 −5,4．
4. C
5. B
6. A【解析】∵△OAB∽△OCD，
∴ 相似比 k=OAOC=32，
∴C1C2=k=32，故A正确；
S1S2=k2=94，故B错误；
选项CD中，OB 与 CD 不是对应边，OA 与 OD 不是对应边，故CD错误．
7. C【解析】∵ 圆的半径为 r=1，
∴ 圆的周长为 2πr=2π，
∵ 扇形半径为 R，扇形圆心角等于 90∘，
∴ 圆锥侧面展开图扇形弧长为 90π180×R=πR2，
∴2π=πR2，
∴R=4．
8. D
9. C【解析】函数的对称轴为：x=12m，
x≥1 时，y 随取 x 的增大而增大，
则 12m≤1，解得：m≤2．
10. D
【解析】如图，以 OP 为边向下作等边 △POH，连接 AH．
∵△POH，△APM 都是等边三角形，
∴PH=PO，PA=PM，∠HPO=∠APM=60∘，
∴∠HPA=∠OPM，
∴△HPA≌△OPMSAS，
∴AH=OM，
∵AH≤OH+AO，即 AH≤11，
∴AH 的最大值为 11，
∴OM 的最大值为 11．
第二部分
11. y=2x2+1
【解析】∵ 抛物线 y=2x2 的图象向上平移 1 个单位，
∴ 平移后的抛物线的解析式为 y=2x2+1．
12. 1
【解析】S△OAC=12OC⋅AC=12xA⋅yA=12×2=1.
13. 24
【解析】从盒子中摸出红球的频率是 0.15，摸出白球的频率 0.45，
∴ 从盒子中摸出黄球的频率 1−0.15−0.45=0.4，
∵ 不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共 60 个，
∴ 盒子中黄球的个数很可能是 60×0.4=24 个．
14. 16
【解析】∵∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，
∴∠BCD+∠DCA=90∘，∠B+∠BCD=90∘
∴∠DCA=∠B
又 ∵∠BDC=∠CDA=90∘
∴△BCD∽△CAD，
∴BD:CD=CD:AD，
∴AD⋅BD=CD2=42=16．
15. 6
【解析】过点 O 作 OH⊥BC 交 BC 于 H 点，边接 OB，OC，
∵∠A=60∘，
∴∠BOC=2∠A=120∘，
∴∠COH=12∠BOC=60∘，
∵OH⊥BC，
∴CH=12BC=33，
在 Rt△COH 中，∠COH=60∘，
∴OC=CH3×2=333×2=6．
16. ①④⑤
【解析】补全图象如下：
∵ 对称轴为直线 x=2，
∴−b2a=2，即 4a+b=0，故①对；
②如图，当 x=−3 时，y<0，即 9a−3b+c<0，9a+c<3b，故②错；
③当 −1当 x≥2 时，y 随 x 增大而减小，故③错；
④如图，当 y<0 时，即图象在 x 轴下方，
∴x<−1，或 x>5，故④对；
⑤ ∵4a+b=0，
∴b=−4a，
当 x=−1 时，y=a−b+c=0，
∴a−−4a+c=0，即 c=−5a，
∴8a+7b+2c=8a+7×−4a+2−5a=−30a，
∵ 图象开口朝下，
∴a<0．
∴8a+7b+2c=−30a>0，故⑤对；
综上所述，正确的结论有①④⑤．
第三部分
17. （1） ∵∠OAB=90∘，且点 B 的坐标为 4,2，
∴A4,0，
∴A，B 关于 O 点的对称点的坐标为：A1−4,0，B1−4,−2，
∴ 在平面直角坐标系中描出 A1，B1 点的坐标，再顺次连接就形成了 △OA1B1．
（2） ∵B1−4,−2 为二次函数的顶点，
设抛物线的解析式为：y=ax+42−2，
并且二次函数经过点 B4,2，
∴2=64a−2，
解得：a=116，
∴ 二次函数关系式为 y=116x+42−2．
18. ∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
即 ∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
19. （1） 50；补全的直方图如下图所示
【解析】由统计图可得，
本次调查的人数为：10÷20%=50，
发言次数为C的人数为：50÷30%=15，
发言次数为F的人数为：50×1−6%−20%−30%−26%−8%=50÷10%=5．
（2） 1700×8%+10%=306，
即会议期间组织 1700 名代表参会，
在这一天里发言次数不少于 12 次的人数是 306．
（3） 由统计图可知，
发言次数为A的人数有：50÷6%=3，
发言次数为B的人数有：50÷8%=4，
由题意可得，
故所抽的两位代表恰好都是男士的概率是 412=13，
即所抽的两位代表恰好都是男士的概率是 13．
20. （1） 根据题意得：y=x30−2x=−2x2+30x．
由题意得：矩形苗圃靠墙一边长为 30−2x，
∵30−2x≤18，
∴−2x≤−12，
∴x≥6, ⋯⋯①
∵x+x<30，
∴x<15, ⋯⋯②
∴ 由①②得：6≤x<15．
（2） y=−2x2+30x=−2x2−15x+2254+2254=−2x−1522+2252.
∴ 当 x=152 时，y最大=2252m2．
21. ∵ 正方形 ABCD，等边 △ABE，
∴∠BAE=60∘，∠BAD=90∘，∠DAC=45∘，
∵∠MAN=60∘，
∴∠EAN=60∘+90∘−45∘−60∘=45∘，
∴∠EAN=∠DAM，
在 △AMD 和 △ANE 中，
AM=AN,∠MAD=∠NAE,AD=AE,
∴△AMD≌△ANE，
∴EN=DM．
22. （1）
（2） 如（1）中图，连接 OD，分别给各角标号，
由作图知 OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
∵△ABC 是直角三角形，且 ∠C=90∘，
∴∠ODC=90∘，即 OD⊥BC，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
23. （1） 作 BM⊥x 轴于 M，作 DN⊥x 轴于 N，如图，
∵ 点 A，B 的坐标分别为 5,0，2,6，
∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△AND∽△ABM，
∴DNBM=ANAM=ADAB，即 DN6=AN3=13，
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA−AN=4，
∴D 点坐标为 4,2，
把 D4,2 代入 y=k1x 得 k=2×4=8，
∴ 反比例函数解析式为 y=8x．
（2） 将 y=6 代入 y=8x 中，得：x=43，故 E43,6，
由图象可知：不等式 k1x24. （1） 设直线 OA 的解析式为 y=kx，
把点 A 坐标 2,4 代入得，4=2k，
∴k=2，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=2x．
（2） ① ∵ 顶点 M 的横坐标为 m，且点 M 在直线 OA 上，
∴ 顶点 M 的坐标为 m,2m，
∴ 抛物线的解析式为 y=x−m2+2m，
当 x=2 时，y=2−m2+2m=m2−2m+4（0≤x≤2），
∴ 点 P 的坐标为 2,m2−2m+4．
② PB=m2−2m+4=m−12+3，
∵0≤x≤2，
∴ 当 m=1 时，PB 最短．
（3） 当 PB 最短时，抛物线的解析式为 y=x−12+2，点 P 的坐标为 2,3，
抛物线上存在点 Q，使 S△QNA=2S△PMA，
设 Qx,x2−2x+3．
①当点 Q 在直线 OA 的下方时，
在 PB 上找一点 G，使得 PG=AP=1，
∴G2,2，
过点 G 作直线 GC∥AO，交 y 轴于点 C，
此时直线 GC 与抛物线 y=x−12+2 无交点，
∴ 这样的点 Q 不存在．
②当点 Q 落在直线 OA 的上方时，
作点 G 关于点 A 的对称称点 D，过 D 作直线 DE∥AO，交 y 轴于点 E，
∵AP=1，
∴EO=DA=2AP=2，
∴E，D 的坐标分别是 0,2，2,6，
∴ 直线 DE 函数解析式为 y=2x+2．
∵S△QMA=2S△PMA，
∴ 点 Q 落在直线 y=2x+2 上．
∴x2−2x+3=2x+2．
解得：x1=2+3，x2=2−3，
代入 y=2x+2 得 y1=6+23，y2=6−23．
∴ 此时抛物线上存在点 Q12+3,6+23，Q22−3,6−23，
使 S△QNA=2S△PMA．
25. （1） ∵ 点 B，C 关于原点对称，点 Ba,a+1（a>0），
∴OB=OC=OA=5，B−a,−a−1，
∴a2+a+12=5，即 a2+a+12=25，
解得：a1=−4（舍去），a2=3，
∴B3,4，C3,−4．
（2） 由（1）得：OB=OC=OA，
∴∠B=∠BAO，∠C=∠OAC，
∴∠B+∠BAO+∠C+∠OAC=2∠BAO+2∠OAC=180∘，
∴∠BAO+∠OAC=90∘，即 ∠BAC=90∘，
∴BA⊥AC．
（3） ∵ 点 C 绕着点 O 顺时针旋转 α 度（0∘<α<180∘）得到点 D，
∴OD=OC=OA=OB，
∴A，B，C，D 四点共圆，在以 O 为圆心，OD 为半径的圆上，
设 DE 交 ⊙O 另一边于点 P，
∵DE 平分 ∠BDC，
∴∠BDP=∠CDP=45∘，即 ∠CBP=∠BCP=45∘，
连接 BP，CP，
∴△BCP 为等腰直角三角形，BP=CP，
过 P 作 x 轴平行线 PF，交过 C 的 y 轴平行线于点 F，
过 P 作 PG⊥PF，交过 B 的 x 轴平行线于点 G，
∵∠BPC=∠FPG=90∘，
∴∠FPC=∠GPB，
∴△FPC≌△GPBAAS，
∴FC=GB，FP=GP，
设 Px,y，F−3,y，
∵PG⊥PF，
∴PG∥y 轴，
∴Gx,4，
∴y+4=x−3,x+3=4−y, 解得：x=4,y=−3,
∴∠BDC 的角平分线 DE，恒过定点 P4,−3．