还剩24页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题14.33 因式分解100题（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 5 次下载
- 专题14.34 《整式的乘法与因式分解》中考真题专练（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 7 次下载
- 专题15.1 从分数到分式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） 其他 3 次下载
- 专题15.2 从分数到分式（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 5 次下载
- 专题15.3 从分数到分式（专项练习）（巩固篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） 试卷 4 次下载
专题14.35 《整式的乘法与因式分解》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
展开
这是一份专题14.35 《整式的乘法与因式分解》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题14.35 《整式的乘法与因式分解》中考真题专练
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2019·湖南衡阳市·中考真题）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·四川绵阳·中考真题）已知，，其中，为正整数，则( )
A． B． C． D．
3．（2019·四川广元·中考真题）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（2021·山东威海·）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·湖北恩施·中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2019·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
11．（2021·山东菏泽·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2
13．（2019·湖北恩施·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·山东临沂·中考真题）将进行因式分解，正确的是( )
A． B．
C． D．
15．（2018·广西百色·中考真题）因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1） C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
16．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．（2019·河北中考真题）若则的值为_____．
19．（2020·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是__________．
20．（2018·黑龙江大庆·中考真题）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
21．（2016·吉林长春·中考真题）计算：=____．
22．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．
23．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
24．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
25．（2019·四川雅安·中考真题）化简的结果是_____．
26．（2019·浙江衢州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
27．（2019·江苏扬州市·中考真题）计算：的结果是_____.
28．（2018·宁夏中考真题）已知m+n=12,m-n=2,则m2-n2=________.
29．（2021·四川达州·中考真题）已知，满足等式，则___________．
30．（2020·浙江杭州·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
31．（2020·江西中考真题）计算：_____．
32．（2021·吉林中考真题）因式分解：__________．
33．（2020·贵州黔南·中考真题）因式分解：__________．
34．（2021·贵州黔东南·中考真题）分解因式：___________．
35．（2021·广东中考真题）若且，则_____．
36．（2021·内蒙古中考真题）因式分解：_______．
37．（2021·山东菏泽·中考真题）因式分解：______．
38．（2021·湖北十堰·）已知，则_________．
39．（2020·辽宁营口·中考真题）ax2﹣2axy+ay2＝_____．
三、解答题
40．（2018·广西河池·中考真题）先化简，再求值：，其中．
41． （2019·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
42．（2020·海南中考真题）计算：
（1）；
（2）．
43．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
44．（2019·湖北中考真题）若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
（基础训练）
（1）解方程填空：
①若，则______；
②若，则______；
③若，则______；
（能力提升）
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（探索发现）
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．
45．（2021·湖北鄂州·）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
1．D
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
解：A、与不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、，故选项B不合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．A
【分析】先变形成与的形式，再将已知等式代入可得．
解：∵，，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则．
3．B
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方化简即可判断．
解：A．，故选项A不合题意；
B．，故选项B符合题意；
C．，故选项C不合题意；
D．，故选项D不合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．
4．D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
5．B
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
6．C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
解：A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算正确，符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．B
【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可．
解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
8．D
【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可.
解：A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；
B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；
C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；
D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键．
9．B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
10．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式变形得：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
11．D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
12．A
【分析】先利用合并同类项、完全平方公式、乘方以及单项式乘单项式的运算法则逐项排除即可．
解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，故该选项计算正确；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
C．（﹣2a）2＝4a2，，故该选项计算错误；
D．a•2a2＝2a3，，故该选项计算错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了合并同类项、完全平方公式、乘方、单项式乘单项式等知识点，掌握相关计算方法和运算法则是解答本题的关键．
13．C
【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案.
解：A.，故该选项计算错误，
B.，故该选项计算错误，
C.，故该选项计算正确，
D.，故该选项计算错误，
故选B.
【点拨】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．C
【分析】多项式有公因式，首先用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解．
解：，
故选C．
【点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；
15．C
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．
故选C．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
16．C
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
17．A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
解：∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
18．-3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
19．0
【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果．
解：
=
=
=0．
故答案为：0．
【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
20．75
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可．
【详解】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为75．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
21．．
【解析】
试题分析：原式=，故答案为．
考点：幂的乘方与积的乘方．
22．64 5
【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解
解：通过观察发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
……
故第n行第n列数字为：，
则第n行第1列数字为：，即+1
设2021是第n行第m列的数字，则：
即,可以看作两个连续的整数的乘积，
为正整数，
当时，
故答案为：64，5
【点拨】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．
23．2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点拨】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
24．2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
解：∵，
∴，，
，
故答案为：2021；
∵，
即，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
25．4
【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
解：．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
26．3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
解：∵，，
∴.
故答案为3.
【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
27．
【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
解：
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点拨】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
28．24
【解析】
【分析】根据平方差公式，即可解答．
解：m2-n2
=（m+n）（m-n）
=12×2
=24．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
29．-3
【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
解：由，变形得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-3
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
30．﹣
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
31．
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
解：
【点拨】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
32．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．
33．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：原式，
故答案为
【点拨】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
34．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
解：原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
35．
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
36．
【分析】首先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
解：，
故填：．
【点拨】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．
37．
【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可
解：∵
=-a
=
故答案为: ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键．
38．36
【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
解：∵，
∴原式=，
故答案是：36．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
39．a（x﹣y）2
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
40．；．
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得．
解：
当时，原式．
【点拨】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则．
41．2
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
解：原式＝
，
当时，原式．
【点拨】考核知识点：整式化简取值.掌握整式乘法公式是关键.
42．（1）1；（2）
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式、单项式与多项式的乘法计算，再去括号合并同类项即可．
解：解:（1）原式
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
43．（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
解：（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
44．（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】(1)①根据，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；
②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；
③由及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；
(2)根据分别对、、按此表示方法进行整理即可求得答案；
(3)①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；
②当任选的三位数为时，根据规则第一次运算后得，结果为99的倍数，由于，故，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算即可求得答案.
解：(1)①∵，
∴若，则，
∴，
故答案为2；
②若，则，
解得，
故答案为4；
③由及四位数的类似公式得
若，
则，
∴100t=700，
∴，
故答案为7；
(2)∵，
∴则一定能被 11整除，
∵，
∴一定能被9整除，
∵
，
∴一定能被10整除，
故答案为11；9；10；
(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为495；
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：
，
结果为99的倍数，由于，故，
∴，又，
∴，
∴，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
，，，，…故都可以得到该黑洞数495．
【点拨】本题考查的是阅读理解题，弄清题意，理解和掌握题中所给的运算法则或运算规则是解题的关键.
45．（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
解：猜想运用：
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
变式探究：
∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
专题14.35 《整式的乘法与因式分解》中考真题专练
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2019·湖南衡阳市·中考真题）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·四川绵阳·中考真题）已知，，其中，为正整数，则( )
A． B． C． D．
3．（2019·四川广元·中考真题）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（2021·山东威海·）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·湖北恩施·中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2019·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
11．（2021·山东菏泽·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2
13．（2019·湖北恩施·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·山东临沂·中考真题）将进行因式分解，正确的是( )
A． B．
C． D．
15．（2018·广西百色·中考真题）因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1） C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
16．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．（2019·河北中考真题）若则的值为_____．
19．（2020·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是__________．
20．（2018·黑龙江大庆·中考真题）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
21．（2016·吉林长春·中考真题）计算：=____．
22．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．
23．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
24．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
25．（2019·四川雅安·中考真题）化简的结果是_____．
26．（2019·浙江衢州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
27．（2019·江苏扬州市·中考真题）计算：的结果是_____.
28．（2018·宁夏中考真题）已知m+n=12,m-n=2,则m2-n2=________.
29．（2021·四川达州·中考真题）已知，满足等式，则___________．
30．（2020·浙江杭州·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____．
31．（2020·江西中考真题）计算：_____．
32．（2021·吉林中考真题）因式分解：__________．
33．（2020·贵州黔南·中考真题）因式分解：__________．
34．（2021·贵州黔东南·中考真题）分解因式：___________．
35．（2021·广东中考真题）若且，则_____．
36．（2021·内蒙古中考真题）因式分解：_______．
37．（2021·山东菏泽·中考真题）因式分解：______．
38．（2021·湖北十堰·）已知，则_________．
39．（2020·辽宁营口·中考真题）ax2﹣2axy+ay2＝_____．
三、解答题
40．（2018·广西河池·中考真题）先化简，再求值：，其中．
41． （2019·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
42．（2020·海南中考真题）计算：
（1）；
（2）．
43．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
44．（2019·湖北中考真题）若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
（基础训练）
（1）解方程填空：
①若，则______；
②若，则______；
③若，则______；
（能力提升）
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（探索发现）
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．
45．（2021·湖北鄂州·）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
1．D
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
解：A、与不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、，故选项B不合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．A
【分析】先变形成与的形式，再将已知等式代入可得．
解：∵，，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则．
3．B
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方化简即可判断．
解：A．，故选项A不合题意；
B．，故选项B符合题意；
C．，故选项C不合题意；
D．，故选项D不合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．
4．D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
5．B
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
6．C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
解：A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算正确，符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．B
【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可．
解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
8．D
【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可.
解：A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；
B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；
C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；
D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键．
9．B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
10．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式变形得：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
11．D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．
解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
12．A
【分析】先利用合并同类项、完全平方公式、乘方以及单项式乘单项式的运算法则逐项排除即可．
解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，故该选项计算正确；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
C．（﹣2a）2＝4a2，，故该选项计算错误；
D．a•2a2＝2a3，，故该选项计算错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了合并同类项、完全平方公式、乘方、单项式乘单项式等知识点，掌握相关计算方法和运算法则是解答本题的关键．
13．C
【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案.
解：A.，故该选项计算错误，
B.，故该选项计算错误，
C.，故该选项计算正确，
D.，故该选项计算错误，
故选B.
【点拨】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．C
【分析】多项式有公因式，首先用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解．
解：，
故选C．
【点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；
15．C
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．
故选C．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
16．C
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
17．A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
解：∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
18．-3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
19．0
【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果．
解：
=
=
=0．
故答案为：0．
【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
20．75
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可．
【详解】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为75．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
21．．
【解析】
试题分析：原式=，故答案为．
考点：幂的乘方与积的乘方．
22．64 5
【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解
解：通过观察发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
……
故第n行第n列数字为：，
则第n行第1列数字为：，即+1
设2021是第n行第m列的数字，则：
即,可以看作两个连续的整数的乘积，
为正整数，
当时，
故答案为：64，5
【点拨】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．
23．2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点拨】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
24．2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
解：∵，
∴，，
，
故答案为：2021；
∵，
即，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
25．4
【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
解：．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
26．3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
解：∵，，
∴.
故答案为3.
【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
27．
【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
解：
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点拨】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
28．24
【解析】
【分析】根据平方差公式，即可解答．
解：m2-n2
=（m+n）（m-n）
=12×2
=24．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
29．-3
【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
解：由，变形得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-3
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
30．﹣
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
31．
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
解：
【点拨】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
32．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．
33．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：原式，
故答案为
【点拨】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
34．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
解：原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
35．
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
36．
【分析】首先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
解：，
故填：．
【点拨】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．
37．
【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可
解：∵
=-a
=
故答案为: ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键．
38．36
【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
解：∵，
∴原式=，
故答案是：36．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
39．a（x﹣y）2
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
40．；．
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得．
解：
当时，原式．
【点拨】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则．
41．2
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
解：原式＝
，
当时，原式．
【点拨】考核知识点：整式化简取值.掌握整式乘法公式是关键.
42．（1）1；（2）
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式、单项式与多项式的乘法计算，再去括号合并同类项即可．
解：解:（1）原式
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
43．（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
解：（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
44．（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】(1)①根据，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；
②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；
③由及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；
(2)根据分别对、、按此表示方法进行整理即可求得答案；
(3)①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；
②当任选的三位数为时，根据规则第一次运算后得，结果为99的倍数，由于，故，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算即可求得答案.
解：(1)①∵，
∴若，则，
∴，
故答案为2；
②若，则，
解得，
故答案为4；
③由及四位数的类似公式得
若，
则，
∴100t=700，
∴，
故答案为7；
(2)∵，
∴则一定能被 11整除，
∵，
∴一定能被9整除，
∵
，
∴一定能被10整除，
故答案为11；9；10；
(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为495；
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：
，
结果为99的倍数，由于，故，
∴，又，
∴，
∴，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
，，，，…故都可以得到该黑洞数495．
【点拨】本题考查的是阅读理解题，弄清题意，理解和掌握题中所给的运算法则或运算规则是解题的关键.
45．（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
解：猜想运用：
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
变式探究：
∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点拨】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
相关试卷
初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业： 这是一份初中数学人教版八年级下册<a href="/sx/tb_c10261_t7/?tag_id=28" target="_blank">17.1 勾股定理课时作业</a>，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 17.14 勾股定理中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）： 这是一份专题 17.14 勾股定理中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题23.13 《旋转》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）： 这是一份专题23.13 《旋转》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
