专题22 期末复习-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）


专题22 期末复习

知识梳理
一、集合与命题
1．区分集合中元素的形式：




函数的定义域
函数的值域
函数图象上的点集

2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．
3．集合的性质：① 任何一个集合都是它本身的子集，记为．
② 空集是任何集合的子集，记为．
③ 空集是任何非空集合的真子集，记为．
注意：若条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况．
集合的运算：④、；
、．
⑤．
⑥对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为：、、、．
4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题．
① 命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果，那么；
逆命题：如果，那么；
否命题：如果，那么；
逆否命题：如果，那么；
② 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．
③ 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题．
④ 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑．
5．常见结论的否定形式：
原结论
是
都是
一定
或
且
大于
小于
否定形式
不是
不都是
不一定
且
或
不大于
不小于

原结论
至少一个
至多一个
至少个
至多个
对所有都成立
对任何不成立
否定形式
一个也
没有
至少两个
至多个
至少个
存在某不成立
存在某成立
6．充要条件：
条件
结论
推导关系
判断结果



是的充分条件

是的必要条件
且
是的充要条件
在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果．
二、不等式
1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）
① 且；
② 推论：ⅰ．； ⅱ． 且；
③ ；
④ 推论：ⅰ．； ⅱ．且、同号；
ⅱ．； ⅲ．；
⑤ ， ；
⑥ ；
2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）
① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：
ⅰ．分解因式找到零点； ⅱ．画数轴标根画波浪线； ⅲ．根据不等号，确定解集；
注意点：ⅰ．分解因式所得到的每一个因式必须为的一次式； ⅱ．每个因式中的系数必须为正．
②绝对值不等式去绝对值：
ⅰ． ； ⅱ．；
ⅲ．； ⅳ．或；
ⅴ．；
③ 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．
而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述
④ 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”．

3．基本不等式：
①，则，当且仅当时，等号成立．
，则，当且仅当时，等号成立．
综上，若，则，当且仅当时，等号成立．
*②若，则，当且仅当时，等号成立．
*③．

4．不等式的证明：
① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“”比较大小 →
② 综合法：由因导果．
③ 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证．
④ 反证法：正难则反．
⑤ 最值法：，则恒成立； ，则恒成立．
三、函数
1．函数的要素：定义域、值域、对应法则
① 定义域：
ⅰ．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的的范围）
（1）；（2）；（3）．
ⅱ．使实际问题有意义的自变量的范围．
ⅲ．求复合函数的定义域：
若的定义域为，则的定义域由不等式解出；
若的定义域为，则的定义域相当于时的值域．
② 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？
ⅰ．二次函数型或可化为二次函数型；ⅱ．单调性；ⅲ．基本不等式；ⅳ．换元法；ⅴ．数形结合；

2．函数的基本性质：
① 奇偶性：
ⅰ．定义判断奇偶性的步骤：
（1）定义域是否关于原点对称；（2）对于任意，判断与的关系：
若，也即为偶函数；
若，也即为奇函数．
ⅱ．图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数； 函数图象关于轴对称偶函数；
ⅲ．判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？
ⅳ．如果奇函数在处有定义，则．
ⅴ．一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：（其中定义域关于原点对称）
ⅵ．如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空），则有：
奇＋奇奇；奇＋偶非奇非偶；偶＋偶偶；奇×奇偶；奇×偶奇；偶×偶偶．
② 单调性：设任意，且，则无单调性
减函数；增函数；
在比较与大小时，常用“作差法”，比较与的大小．
ⅰ．奇函数的图象在轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在轴两侧的单调性相反．
ⅱ．互为反函数的单调性一致．
ⅲ．增函数＋增函数增函数；减函数＋减函数减函数．
ⅳ．复合函数单调性由“同增异减”判定．
ⅵ．注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”）
四、幂函数
①定义：一般地，形如的函数称为幂函数。（其中是自变量，是常数）
②几个常见幂函数的图像及性质






定义域
R
R
R


奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数的图像在第一象限的分布规律是：
1）所有幂函数的图像都过点；
2）当时函数的图像都过原点；
3）当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；
4）当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）
5）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）
6）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）
③ 通过特殊幂函数的图像与性质总结幂函数的图像：
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，时，图象是向下凹的；时，图象是向上凸的。
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凹的。（在第一象限内越大，图象下落的速度越快）
注意： 无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
五、指数函数
①定义：一般地,函数叫做指数函数.
与幂函数不同，在这个函数中，自变量是指数，而底数则是常数。
②基本性质：1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

③函数图像：






1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。


①，
②，
③
①，
②，
③，

④函数值的变化特征：








六、指数与对数的概念
指数：
①分数指数幂
1）（，且）
2）（，且）
②根式的性质
1）
2）当为奇数时，；当为偶数时，
③有理指数幂的运算性质
1）
2）
3）
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
对数：
（1）对数的定义：如果，那么幂指数叫做以为底的对数。记作：,其中叫做底数，叫做真数。
(2)指数式与对数式的互化式:
(3)对数的换底公式 : (,且,,且, )
（4）对数恒等式：(,且, )
(5)对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
①; ②;[来源:学&科&网]
③; ④
(6)常用对数和自然对数
以10为底的对数，叫做常用对数，简记为。以无理数为底的对数叫做自然对数，记作，简记为，其中。
温馨提示
（1）当为偶数时，
（2）不要把记成了等。
方法总结
1、 解决指数问题时常常需要取对数，而解决对数问题又需要将它转化成指数问题，这种互化是数学解题的有力杠杆。我们在这里称之为“对指互化”。
2、 注意对数恒等式、对数换底公式以及恒等式在解题中的灵活运用。
3、 对于对数连等式等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁。
4、 注意方程和方程组思想的有效运用。
5、 解对数和指数不等式，常用同底法，即把不等式的两边变成底数相同的对数和指数。
如：。
七、对数函数
①定义：函数称对数函数，
1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4）对数函数与指数函数互为反函数。
②函数图像：








1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：


①，
②，
③.
①，
②，
③.








八、指数对数方程
① 指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；
在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。
②解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。
③指数方程的基本类型：
（1）其解为；
（2），转化为代数方程求解；
（3），转化为代数方程求解；
（4），用换元法先求方程的解，再解指数方程。
④ 对数方程的基本类型：
（1）,其解为；
（2），转化为求解；
（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程。
⑤指数方程和对数方程的近似解
利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解.


例题解析

一、集合不等式
【例1】若集合，，则能使成立的所有实数a的集合是 ( )
A． B． C． D．
U

【例2】用集合的交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来 ．




【例3】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．




【例4】设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是 ．




【例5】若实数同时满足下列条件：（1）；（2）；（3）；（4），则下列判断正确的是____．（将正确的序号都填上）
（1），（2），（3），（4），（5）．




【例6】解下列不等式（组）：
（1） （2）


【例7】设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）
A． B． C． D．
【例8】（1）当0 （2）已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值________；
（3）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值________；

（4）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________；
（5）已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．




【例9】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．





【巩固训练】
1．集合，，，求．





2．已知集合，若A B，求实数的取值范围．





3．下列说法:
① 若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；
② 若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；
③ 若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；
④ 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题．
其中正确的说法是 ( )
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③




4．设为集合的一个子集，且中任意两个元素之和不能被7整除，则中元素最多有多少 个．





5．已知，下列不等式中正确的是 ( )
A． B． C． D．

6．不等式有实数解，且对于任意的实数解求实数m的取值范围．





7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．





8．（1）已知，则的最大值为 ，此时 ；
（2）若，则的取值范围 ；
（3）已知，且，则的最小值为 ；
（4）已知，且，则的最小值 ；


（5）设都是正数，且使，则实数的最大值 ；
（6）设正数、满足，则的最小值是_______；
（7）若、是正数，则的最小值为_____．






二、函数的概念
【例11】函数＝的定义域为，则的取值范围是

【例12】已知为二次函数，且 ，且,图象在轴上截得的线段长为,求的解析式．






【例13】设为，的反函数，则的最大值为___．

【例14】设定义在上的两个函数、，其值域依次是和，有下列4个命题：
①若，则对任意，恒成立；
②若存在，使成立，则必有；
③若对任意，恒成立，则必有；
④若，则对任意，恒成立．
其中正确的命题是_____（请写出所有正确命题的序号）
【例15】已知的反函数为，则不等式的解集为________．
【例16】
（1）证明：函数有反函数，并求出反函数
（2）反函数的图像是否经过点（0,1）？反函数的图像与有无交点？
（3）设反函数，求不等式的解集．







【巩固训练】
1．定义两种运算的解析式是( )
A．．　 B．．
C．． D．．




2．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
3．求 在上的最大值和最小值．







4．已知函数的值域为，求实数的值．





5．已知函数定义在上，存在反函数，且，若的反函数是，则=___________．

三、函数的性质
【例17】若函数，为非奇非偶函数，则有（ ）
（A）对于任意的，都有；
（B）存在，使；
（C）存在，使；
（D）对于任意的，都有．








【例18】已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， ．
【例19】的单调递增区间
【例20】已知函数，若函数在上为增函数，求的取值范围．







【例21】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．

















【例22】若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4








【巩固训练】
1．设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a＝________
2．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．





3．已知函数，，
若对任意的，均有，则实数的取值范围是　 ．
4．已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．




5．设函数，.
（1）解方程：；
（2）令，，求证：
；
（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．


















6．问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．

四、幂指对函数
【例23】已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．







【例24】已知函数，，若其值域为，则该函数的一个解析式可以为 ．

【例25】如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 ．
【例26】函数的反函数为，若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ．
【例27】已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．










【巩固训练】
1．下列命题中:
⑴ 幂函数的图像不可能出现在第四象限； ⑵ 当时，的图像是一条直线；
⑶ 幂函数的图像都经过点； ⑷ 若幂函数为奇函数，则在定义域内为增函数.
其中正确的命题序号是___________．



2．，求值域，讨论奇偶性．




3．若y=log(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是 ．
4．若方程所有的解都大于1，求a的取值范围．




5．设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是___________．






反思总结

1．集合中对空集的讨论．
2．基本不等式．
（1）应用公式的条件：的条件是；的条件是．
（2）取等号的条件：和取等号的条件都是．
3．函数定义域是研究函数的前提．
4．判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．要清楚认识奇偶性与周期的判断方法（有形用形，没形用代数式即定义证明）.应用方面：形--对称作图、平移作图；数--f(x)与f(-x)互求、f(x+T)与f(x)互求，提升理解为x,y两者具备一定量关系的互求．
5．函数单调性判断的依据是定义，复合函数结论。应用方向：比较大小，求最值值域（x的大小与y的大小的互求）．
课后练习
1．已知，，且，则 ．

2．函数的定义域是________________．
3．已知，则函数的最小值是 ．

4．已知，(其中，则 ．
5．若，则函数的最小值为 ．
6．函数（）的反函数是 ．

7．函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点 ．
8．设定点，若动点在函数图像上，则的最小值为
9．若函数的图象如左下图所示（其中为常数），则函数的大致图象是（ ）






（A）
（B）
（C）
（D）




10．设函数和都在区间上有定义，若对的任意子区间，总有上的实数和，使得不等式成立，则称是在区间上的甲函数，是在区间上的乙函数．已知，那么的乙函数 ．





11．设是两个命题：：，：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

12．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（ ）
A． B． C． D．不能确定

13．若函数（）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程有正整数解的实数的取值个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

14．设函数，区间，，集合，则使成立的实数对有（ ）
A．3对； B．5对； C．1对； D．无数对．

15．己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由．











16．设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换，
（1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；
，；
，；
（2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．