期末测试卷03（人教A版2019）（测试范围：必修第一册）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修第一册（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合与集合的关系是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，故有，故选A。
2．若命题：，则为( )。
A、且
B、或
C、且
D、
【答案】B
【解析】∵，∴且，∴：或，故选B。
3．已知，，且，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴，即最小值为，故选D。
4．若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】，，得，∴，
令，则，∴，故选D。
5．若函数的值域为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，
若，则，可取，
若，则需，，解得，
∴的范围为，故选D。
6．已知函数(，)的最小正周期为，将的图像向右平移个单位后得函数的图像，则函数的图像( )。
A、关于直线对称
B、关于直线对称
C、关于点对称
D、关于点对称
【答案】D
【解析】由题意得，故，∴，
∴，
又，∴，∴，
令()，解得()，
即的对称轴为()，经检验、都不符合，
∴令()，解得()，
即的对称中心为()，经检验不符合，符合，
故选D。
7．设函数，，若实数、分别是、的零点，则下列不等式一定成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵、连续且都为单调增函数，
∴、各只有唯一一个零点，则：
，，则，
，，则，
∴，，选A。
8．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，在定义域上是减函数，
∴时，，
又∵，
∴一种情况是、、都为负值①，
另一种情况是，，②，
在同一坐标系内画函数与的图象，
对于①要求、、都大于，对于②要求、都小于是，大于。
两种情况综合可得不可能成立，故选D。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若集合，，且，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABC
【解析】，，
当时，，，可取，
当时，，令，，可取，令，，可取，
综上、或，故选ABC。
10．已知，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】AC
【解析】原式转化为，则，
∴，则或，
当时，
，
当时，，
故选AC。
11．已知函数的值域为，则下列说法正确的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BC
【解析】设，函数式变形为，()，
由已知得，则，即，
其解集为，则和是方程的两个根，
应用韦达定理得，，，故选BC。
12．已知为定义在内的偶函数，对都有，当任意，且时，恒成立，则下列命题正确的是( )。
A、
B、直线是函数的图像的一条对称轴
C、函数在区间内为增函数
D、方程在区间内有四个实数根
【答案】BD
【解析】A选项，∵为上的偶函数，且对，均有，
∴令得：，∴，错，
B选项，∵，∴，∴是以为周期的偶函数，
∴，，∴，
∴图像关于对称，对，
C选项，∵当且时，恒成立，
∴在上为增函数，
又函数是偶函数，∴在上为减函数，
又函数是以为周期的函数，∴在上为减函数，错，
D选项，∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴方程在上有个实根(和)，
又函数是以为周期的函数，
∴方程在上有个实根()，
在区间上有一个实根()，
∴方程在上有个实根，对，
故选BD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．定义集合运算，若，，则集合中的元素个数为 。
【答案】
【解析】∵，，
∴，
因此中的元素个数为。
14．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高。当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低。设住第层楼时，环境不满意程度为。则此人应选第 楼，会有一个最佳满意度。
【答案】
【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，∵，
当且仅当，即时取等号，
但考虑到，∴当时，当时，
即此人应选楼，不满意度最低。
15．设函数，则函数零点的个数是 。
【答案】
【解析】的零点相当于：
与的两图像的交点，
作图，有四个交点。
16．将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图像，若，且、，则的最大值为 。
【答案】
【解析】由题意可得，∴，
又，∴，
由，得()，
∵、，∴。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知全集，非空集合，。
(1)当时，求；
(2)命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围。
【解析】(1)∵时，， 2分
， 4分
全集，∴，∴； 5分
(2)∵命题：，命题：，是的必要条件，∴， 6分
∵，∴， 8分
∵，，
∴，解得或，故实数的取值范围。 10分
18．（本小题满分12分）
定义在上的函数满足，当时有。
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明。
【解析】(1)设，则，∵，且时，， 2分
∴时，有， 4分
在中，令，， 5分
综上，当时，有：； 6分
(2)在上是减函数，证明：设，则，， 8分
∴，，
∴， 10分
∴，∴在上是减函数。 12分
19．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域。
【解析】(1)函数
，
∴， 2分
令，，∴，
∵，∴函数的单调递增区间； 4分
(2)
， 6分
令，∵，∴， 8分
∴，∴， 10分
∴原式可化为，， 11分
∴，
∴最大值为，最小值为，∴值域为。 12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，。
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式；
(3)若在上单调递增，求实数的范围。
【解析】(1)∵，∴； 2分
(2)由可得：，
等价于，解得，或，解得， 4分
∴原不等式的解集为； 6分
(3)依题意在上单调递增， 7分
①当时，在上单调递增，符合题意， 8分
②当时，为二次函数，对称轴为， 9分
当时，图像开口向上，只需，解得， 10分
当时，图像开口向下，只需，解得， 11分
综上：。 12分
21．（本小题满分12分）
已知函数满足(且)。
(1)判断函数的奇偶性及单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)令()，则，∵，
则()， 2分
又∵，∴为奇函数， 4分
又当时，为增函数，为增函数，
当时，为减函数，仍为增函数， 6分
综上，可知是上递增的奇函数； 7分
(2)由(1)，当时，，
再由单调性及定义域可得； 9分
(3)设，∵是上的增函数，∴在上也递增，
由得，则，
要使恒成立，只需在时恒成立， 11分
即，解得且。 12分
22．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)若且时，求的最大值和最小值；
(2)若且时，方程有两个不相等的实数根、，求的取值范围及的值。
【解析】(1)若，则，∵，∴， 1分
∴当时，的取得最大值为，
此时在的最大值为， 3分
当时，的取得最小值为，
此时在的最小值为； 5分
(2)若，，∵，∴，
∴，∴， 7分
当有两不等的根，
结合函数的图像可得或，
即， 9分
由得，由，得， 10分
即函数在内的对称性为和，
两个根分别关于和对称， 11分
即或。 12分
