人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积当堂达标检测题

空间几何体的表面积和体积

课下练兵场

一、选择题

1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是        (　　)

A．32π　 　B．16π       C．12π         D．8π

解析：由三视图知，该几何体是半径为2的半球体，其表面积S＝12π.

答案：C

2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的

正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的

体积是                                  (　　)

A.        B.        C.           D.

解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝·1·1·＝.

答案：B

3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，

则四面体ABCD的外接球的体积为                                        (　　)

A.π            B.π            C.π               D.π

解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，

所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，

则V球＝π×()3＝.

答案：C

4．(2010·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于        (　　)

A.π            B.π               C.π＋8           D．12π

解析：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋π＝π.

答案：A

5．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为        (　　)

A．           B.           C.            D.

解析：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a.

设CD=x，AD=y，

则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，y2＋1＝a2，

消去x2，y2得

a2＋b2＝8≥，

所以(a＋b)≤4，

当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，

所以V＝××1××＝.

答案：D

6．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为                                                 (　　)

A．7          B．6          C．3          D．9

解析：原正四面体的表面积为4×＝9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×＝2，故所得几何体的表面积为7.

答案：A

二、填空题

7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是________．

解析：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为×2a×2πa＝2πa2，底面积为πa2，观察三视图可知，轴截面为边长为2a的正三角形，所以轴截面面积为×2a×2a×＝a2，则该几何体的表面积为πa2＋a2.

答案：πa2＋a2

8．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．

解析：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝ ×π×12×2＝.

答案：π

9．(2010·安徽师大附中模拟)一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1,2,4，则这个几何体的体积为________．

解析：设正视图两直角边长分别为a，c，左视图两直角边长为b，c，则俯视图两直角边长为a，b.

∴解得a2b2c2＝64，∴abc＝8，

由于这个几何体为三棱锥，所以其体积

V＝×abc＝.

答案：

三、解答题

10．已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．

解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a，

所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，

则△EFB≌△EFD1，

由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，

所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1

＝2··S△EBA1·a＝a3.

11．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

解：(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．

由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，

可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积

S=5×22+2×2×+2××()2

=22+4 (cm2)，

所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3)．

12．(2009·宁夏、海南高考)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°

(1)证明：AB⊥PC；

(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．

解：(1)证明：因为△PAB是等边三角形，

∠PAC＝∠PBC＝90°，

所以Rt△PBC≌Rt△PAC，

可得AC＝BC.

如图，取AB中点D，连结PD、CD，

则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，

所以AB⊥PC.

(2)作BE⊥PC，垂足为E，连结AE.

因为Rt△PBC≌Rt△PAC，

所以AE⊥PC，AE=BE.

由已知，平面PAC⊥平面PBC，

故∠AEB=90°.

因为Rt△AEB≌Rt△PEB，

所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．

由已知PC=4，得AE=BE=2，

△AEB的面积S=2.

因为PC⊥平面AEB，

所以三棱锥P-ABC的体积

V=×S×PC=