高中数学1.1变化率与导数课文配套ppt课件

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1.1.3　导数的几何意义【课标要求】1．理解导函数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【核心扫描】1．求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．导数的几何意义的综合应用．(重难点)切线 f′(x0) (2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)2．导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新函数，我们把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数． 注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． (2)函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)． (3)函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的导数值．3．利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．拓展：若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．题型一　已知过曲线上一点求切线方程【例1】 求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程． [思路探索] 经验证P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋2x－1上，求出f(x)在x＝1处的导数f′(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P(1,2)处的切线方程． 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．题型三　求切点坐标【例3】 已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?【题后反思】 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．方法技巧　数形结合思想在导数的几何意义 中的应用数形结合解题就是解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题．在解决与数量有关的问题时根据数量结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的各自优势尽快得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助．导数的几何意义就是切线的斜率，涉及此类问题可借助数形结合思想来解决．【示例】 如图所示，物体运动的位移随时间变化的函数 f(t)＝－t2＋4t＋5的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t＝－1,2,3,4附近的变化情况． [思路分析] 由于函数y＝f(t)在某处的导数，就是曲线y＝f(t)在某处的切线的斜率，因此可借助图象上某点切线斜率的大小来说明曲线在某点附近的变化情况．解　用曲线f(t)在－1,2,3,4处的切线斜率的大小来刻画曲线f(t)在－1,2,3,4附近的变化情况．(1)当t＝－1时，曲线f(t)在－1处的切线l1的斜率f′(－1)>0，在t＝－1附近曲线上升，即函数f(t)在t＝t1附近单调递增．(2)当t＝2时，曲线f(t)在2处的切线l2平行于t轴，f′(2)＝0，说明在t＝2附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(3)当t＝3,4时，曲线f(t)在3,4处的切线l3，l4的斜率f′(3)<0，f′(4)<0，说明在t＝3,4附近曲线下降，即函数f(t)在3,4附近都是单调递减的．但从图象可以看出，0>f′(3)>f′(4)，直线l3的倾斜程度小于l4的倾斜程度，这说明曲线f(t)在t＝3附近比t＝4附近下降的缓慢．