2013-2014学年高二数学 1.4《全称量词与存在量词》知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1

2013-2014学年高中数学 1.4 全称量词与存在量词知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1

1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是(　　)

A．存在a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

B．存在a＜0，b＞0，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

C．存在a＞0，b＞0，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

D．所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

解析：选D.根据全称命题的一般形式为“所有x，有p(x)”．故全称命题是对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

2．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．∀x∈R，x2－1＝0

B．∃x∈Z,3x－1＝0

C．∀x∈R，x2＋1＞0

D．∃x∈Z,1＜4x＜3

解析：选C.若x2－1＝0，则x±1，A错误；若3x－1＝0，则x＝∉Z，B错误；若1＜4x＜3，则＜x＜，D错误；x2＋1≥1＞0恒成立，故选C.

3．下列特称命题是假命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

解析：选B.对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋＞0恒成立．

4．(2012·高考辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则﹁p是(　　)

A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

解析：选C.命题p是一个全称命题，其否定为特称命题，﹁p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0，故选C.

5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＜1　　　　　　　　　　 B．a≤1

C．－1＜a＜1   D．－1＜a≤1

解析：选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.

6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．

答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0

7．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①③是全称命题，②④是特称命题．

答案：①③　②④

8．(2013·临汾质检)若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是__________．

解析：依题意有：0<a2－1<1⇔⇔

⇔－<a<－1或1<a<.

答案：(－，－1)∪(1，)

9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“∀”、“∃”表示．

(1)两个有理数之间，都有一个无理数；

(2)有一个凸n边形，外角和等于180°；

(3)存在一个三棱锥，使得它的每个侧面都是直角三角形．

解：(1)全称命题：∀两个有理数之间，都有一个无理数．

(2)特称命题：∃一个凸n边形，它的外角和等于180°.

(3)特称命题：∃一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形．

10．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

解：x2－2ax＋2≥a，

即x2－2ax＋2－a≥0，

令f(x)＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)时，

f(x)≥0恒成立，

所以Δ≤0或，

即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.

所以－3≤a≤1.

综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．

1．对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A．p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；﹁p所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；﹁p：∀x∈R，x2＋x＋2＞0

解析：选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．

2．设命题p：对一切x∈R，都有x2＋ax＋2＜0，若﹁p为真，则实数a的取值范围是________．

解析：﹁p为真，又﹁p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0，而函数f(x)＝x2＋ax＋2开口向上，所以a∈R.

答案：a∈R

3．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)r：等圆的面积相等，周长相等；

(3)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．

注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．

(2)这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是一个假命题．

(3)这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，有sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题．

4．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

解：(1)不等式m0＋f(x)＞0可化为m0＞－f(x)，

即m0＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m0＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞－4即可．

故存在实数m0使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞－4.

(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.

又f(x0)＝(x0－1)2＋4，

所以f(x0)min＝4，所以m＞4.

所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．