人教版新课标A必修5第二章数列综合与测试当堂检测题

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1．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＝( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(9,4) C.eq \f(25,9) D.eq \f(25,16)
2．将不等式x2－xA．n B．2n
C．2n－1 D．n－1
3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )
A．三个月 B．一个月
C．10天 D．20小时
4．已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，an＋1)在函数y＝eq \f(x,x＋1)的图象上．则该数列{an}的通项公式是an＝________.
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．[2011·济南二模] 数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－17n，则当Sn取得最小值时n的值为( )
A．4或5 B．5或6
C．4 D．5
6．[2011·天津卷] 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
7．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，则公比q( )
A．等于－2 B．等于1
C．等于1或－2 D．不存在
8．[2011·合肥一中月考] 各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝( )
A.eq \f(\r(5)＋1,2) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(3－\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),2)
9．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A．①和⑳ B．⑨和⑩
C．⑨和⑪ D．⑩和⑪
10．数列{an}中，a1＝2，点(lg3an，an＋1)在函数y＝2×3x的图象上，则{an}的通项公式为an＝________.
11．已知a，b，c，d成等比数列，且a，d分别是函数f(x)＝x3－x在区间[2,3]上的最大值和最小值，则bc＝________.
12．[2011·上海闵行调研] 已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，Sn是其前n项和，则S2011＝________.
13．[2011·菏泽二模] 已知an＝2n－1(n∈N＋)，把数列{an}的各项排成如图K33－1所示的三角数阵．记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…
图K33－1
14．(10分)[2012·惠州模拟] 当p1，p2，…，pn均为正数时，称eq \f(n,p1＋p2＋…＋pn)为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为eq \f(1,2n＋1).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝eq \f(an,2n＋1)(n∈N*)，试比较cn＋1与cn的大小．
15．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,2an＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设：eq \f(2,bn)＝eq \f(1,an)＋1，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
16．(12分)设数列{bn}满足：b1＝eq \f(1,2)，bn＋1＝beq \\al(2,n)＋bn.
(1)求证：eq \f(1,bn＋1)＝eq \f(1,bn)－eq \f(1,bn＋1)；
(2)若Tn＝eq \f(1,b1＋1)＋eq \f(1,b2＋1)＋…＋eq \f(1,bn＋1)，对任意的正整数n,3Tn－lg2m－5>0恒成立．求m的取值范围．
课时作业(三十三)A
【基础热身】
1．B [解析] a2＝eq \f(22,a1)＝4，a3＝eq \f(32,a1a2)＝eq \f(9,4).故选B.
2．A [解析] x2－x3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n小时共传递人数Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1≈106，所以n≈20小时．
4.eq \f(1,n) [解析] 因为an＋1＝eq \f(an,an＋1)且a1＝1，所以eq \f(1,an＋1)＝1＋eq \f(1,an)，所以eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝1.
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，1为公差的等差数列.eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝eq \f(1,n).
【能力提升】
5．C [解析] 二次函数f(x)＝2x2－17x的对称轴为直线x＝eq \f(17,4)，因为n∈N＋，所以当n＝4时，Sn＝2n2－17n有最小值．故选C.
6．D [解析] 由aeq \\al(2,7)＝a3·a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋eq \f(10×9,2)(－2)＝110.
7．B [解析] 依题意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，当q≠1时，有2a1(1－qn＋1)＝a1(1－qn)＋a1(1－qn＋2)，解得q＝1，但q≠1，所以方程无解；当q＝1时，满足条件．故选B.
8．B [解析] 依题意，有a3＝a1＋a2，设公比为q，则有q2－q－1＝0，所以q＝eq \f(1＋\r(5),2)(舍去负值).eq \f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝eq \f(a2a4q＋q2,a2a4q2＋q3)＝eq \f(1,q)＝eq \f(2,1＋\r(5))＝eq \f(\r(5)－1,2).故选B.
9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.
10．2n [解析] 由已知得an＋1＝2×3lg3an＝2an，显然{an}的各项不为零，所以eq \f(an＋1,an)＝2，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，an＝2×2n－1＝2n.
11．144 [解析] 因为f′(x)＝3x2－1且x∈[2,3]，所以f′(x)>0，即f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以，a＝f(x)max＝f(3)＝24，d＝f(x)min＝f(2)＝6，所以bc＝ad＝144.
12．6033 [解析] f(x)为奇函数，所以由f(a2－2)＋f(a2010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2010)，
所以a2－2＝4－a2010，即a2＋a2010＝6，
所以S2011＝eq \f(2011a1＋a2011,2)＝eq \f(2011a2＋a2010,2)＝6033.
13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：an＋1＝an＋2n，所以a10＝a9＋18＝a8＋16＋18＝a7＋14＋34＝a6＋12＋48
＝a5＋10＋60＝a4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.
14．[解答] (1)由已知有a1＋a2＋…＋an－1＋an＝n(2n＋1)，
则a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)(2n－1)，
两式相减，得an＝4n－1(n≥2)．
又eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2×1＋1)，解得a1＝3＝4×1－1，
∴an＝4n－1(n∈N*)．
(2)∵cn＝eq \f(an,2n＋1)＝eq \f(4n－1,2n＋1)＝2－eq \f(3,2n＋1)，cn＋1＝eq \f(an＋1,2n＋3)＝2－eq \f(3,2n＋3)，
∴cn＋1－cn＝eq \f(3,2n＋1)－eq \f(3,2n＋3)＞0，即cn＋1＞cn.
15．[解答] (1)由an＋1＝eq \f(an,2an＋1)得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2且eq \f(1,a1)＝1，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以eq \f(1,an)＝1＋2(n－1)＝2n－1，得an＝eq \f(1,2n－1).
(2)由eq \f(2,bn)＝eq \f(1,an)＋1得eq \f(2,bn)＝2n－1＋1＝2n，∴bn＝eq \f(1,n)，
从而bnbn＋1＝eq \f(1,nn＋1)，
则Tn＝b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,nn＋1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
【难点突破】
16．[解答] (1)因为b1＝eq \f(1,2)，bn＋1＝beq \\al(2,n)＋bn＝bn(bn＋1)，所以对任意的n∈N*，bn>0.
所以eq \f(1,bn＋1)＝eq \f(1,bnbn＋1)＝eq \f(1,bn)－eq \f(1,bn＋1)，即eq \f(1,bn＋1)＝eq \f(1,bn)－eq \f(1,bn＋1).
(2)Tn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b1)－\f(1,b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－\f(1,b3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))
＝eq \f(1,b1)－eq \f(1,bn＋1)＝2－eq \f(1,bn＋1).
因为bn＋1－bn＝beq \\al(2,n)>0，∴bn＋1>bn，所以数列{bn}是单调递增数列．
所以数列{Tn}关于n递增．所以Tn≥T1.
因为b1＝eq \f(1,2)，所以b2＝b1(b1＋1)＝eq \f(3,4)，
所以T1＝2－eq \f(1,b2)＝eq \f(2,3)，所以Tn≥eq \f(2,3).
因为3Tn－lg2m－5>0恒成立，所以lg2m<3Tn－5恒成立，
所以lg2m<－3，
所以0

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