高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式随堂练习题

课时作业(三十四)　[第34讲　基本不等式]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．[2011·广东中山]  下列结论正确的是(　　)

A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2

B．当x≥2时，x＋的最小值为2

C．当x>0时，＋≥2

D．当0<x≤2时，x－无最大值．

2．[2011·安徽百校论坛联考]  已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)

A．ab＝AG  B．ab≥AG

C．ab≤AG  D．不能确定

3．[2011·江西重点中学二模]  对于使f(x)≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界．若a>0，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)

A.  B．－  C.  D．－4

4．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了(　　)

A．600天  B．800天

C．1 000天  D．1 200天

5．[2011·惠州三调]  若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)

A．8  B．12  C．16  D．20

6．[2011·青岛一模]  若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.>  B.＋≤1

C.≥2  D．a2＋b2≥8

7．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)

A.－1  B.＋1

C．2＋2  D．2－2

8．若实数a，b，c满足a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，则ab＋c2的最大值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

9．[2010·四川卷]  设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　)

A．2  B．4  C．2  D．5

10．[2011·吉林一中冲刺]  函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为________．

11．[2011·东北三校一模]  设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________．

12．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax＋a2－a＋＝0的两个实根，那么的最小值为________，最大值为________．

13．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．

14．(10分)[2011·烟台一调]  某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；

(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

15．(13分)已知a，b为正数，求证：

(1)若＋1>，则对于任何大于1的正数x，恒有ax＋>b成立；

(2)若对于任何大于1的正数x，恒有ax＋>b成立，则＋1>.

16．(12分)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x、y恒成立，求正实数a的最小值．

课时作业(三十四)

【基础热身】

1．C　[解析] 选项A中不能保证lgx>0；选项B中最小值为2时x＝1；选项D中的函数在(0,2]上单调递增，有最大值；只有选项C中的结论正确．

2．C　[解析] 依题意得A＝，G＝，故AG＝·≥·＝ab.

3．B　[解析] －－＝－(a＋b)＝－≤－＝－.

4．B　[解析] 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，

当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．

【能力提升】

5．C　[解析] 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．

6．D　[解析] 根据基本不等式4＝a＋b≥2，即≤2，且ab≤4，所以≥，所以选项A、C中的不等式不是恒成立的，＋≥≥1，故选项B中的不等式不是恒成立的，a2＋b2≥＝8.

7．D　[解析] (2a＋b＋c)2＝4a2＋b2＋c2＋4ab＋4ac＋2bc≥4a2＋2bc＋4ab＋4ac＋2bc

＝4[a(a＋b＋c)＋bc]，由于a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，

所以2a＋b＋c≥2＝2－2，选D.

8．B　[解析] (ab＋c2)2＝a2b2＋2abc2＋c4≤a2b2＋(a2＋b2)·c2＋c4＝4，所以ab＋c2≤2，等号当且仅当a＝b时成立，此时a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，即a4＋2a2c2＋c4＝4，即a2＋c2＝2，其中a＝b＝c＝1就是满足其取得最小值时的一组实数值．

9．B　[解析] 原式＝a2＋a2＋ab－ab＋＋－10ac＋25c2

＝a(a－b)＋＋ab＋＋(a2－10ac＋25c2)

≥2＋2＋(a－5c)2

＝4＋(a－5c)2≥4＋0＝4.

当且仅当

即a＝，b＝，c＝时，等号成立．

10．4　[解析] 函数y＝a1－x的图象过点(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4.

11．8　[解析] 四面体ABCD在点A处的三条侧棱两两垂直，这个四面体与以AB，AC，AD为棱长的长方体具有相同的外接球．设AB＝x，AC＝y，AD＝z，则x2＋y2＋z2＝16.

S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＝(xy＋yz＋zx)≤(x2＋y2＋z2)＝8.

12．0　　[解析] 首先Δ＝a2－4＝－3a2＋4a－1≥0，即3a2－4a＋1≤0，解得≤a≤1.根据韦达定理知＝＝a＋－1.

根据基本不等式a＋≥1，等号当且仅当a＝时成立，故的最小值是1－1＝0；

根据函数f(a)＝a＋的单调性可知函数的最大值为max＝max＝，故的最大值是.

故的最小值是0，最大值是.

13.　[解析] a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2⇒a2＋4b2＝1.

∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有当ab>0时取得最大值，当ab>0时，∴＝＝＝，

由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1，即≥4，故当＝4时，取最大值＝.

14．[解答] (1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分批，每批价值为20x元，

由题意f(x)＝·4＋k·20x.

由x＝4时，y＝52得k＝＝，

∴f(x)＝＋4x(0<x≤36，x∈N*)．

(2)由(1)知f(x)＝＋4x(0<x≤36，x∈N*)，

∴f(x)≥2＝48(元)，

当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．

故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．

15．[解答] 证明：(1)ax＋＝a(x－1)＋＋1＋a≥2＋1＋a＝(＋1)2>b.

(2)∵对于任何大于1的正数x，恒有ax＋>b成立，即x>1时，min>b，

由(1)ax＋＝a(x－1)＋＋1＋a≥2＋1＋a＝(＋1)2，

∴(＋1)2>b，故＋1>.

【难点突破】

16．[解答] ∵a>0，

∴(x＋y)＝(a＋1)＋≥a＋1＋2，当且仅当＝，即x2＝ay2时，“＝”成立．

∴a＋1＋2≥9，

即＋1≥3，∴a≥4.