高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式同步达标检测题

第三十一讲　不等关系与不等式

班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a＋>b＋　　　　　　 B．a－>b－

C.>       D.>

解析：由已知a>b>0及不等式的基本性质易得a＋>b＋，故选A.

答案：A

2．下列命题中，真命题有(　　)

①若a>b>0，则<；

②若a>b，则c－2a<c－2b；

③若a>b，e>f，则f－ac<e－bc；

④若a>b，则<.

A．1个　　　　B．2个     C．3个　　　　D．4个

解析：①②为真命题，故选B.

答案：B

3．(2011·潍坊市模拟)已知0<x<y<a<1，则有(　　)

A．loga(xy)<0    B．0<loga(xy)<1

C．1<loga(xy)<2    D．loga(xy)>2

解析：由0<x<y<a<1，得xy<a2，

∴loga(xy)>logaa2＝2，故选D.

答案：D

4．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．lga>lgb     B．a2>b2

C. <      D．2a>2b

解析：只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确，而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误，故选D.

答案：D

5．(2011·德州市模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　)

A．(－1,3)    B．(－3,6)

C．(－3,3)    D．(1,4)

解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，

∴－4<－|b|≤0.

又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选C.

答案：C

6．(2009·菏泽市模拟)已知三个不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③－>0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是(　　)

A．0    B．1

C．2    D．3

解析：若①②成立，则(bc－ad)>0，

∴－>0，故③成立；

若①③成立，则ab>0，

∴bc－ad>0，故②成立；

若②③成立，即bc－ad>0，>0，

∴ab>0，故①成立．

故正确命题的个数为3，应选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．以下四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.其中使<成立的充分条件是________．

解析：在①中：a<0，b>0，则<；

在②中：b<a<0，则>；

在④中：0<b<a，则>；

在③中：当b＝－2，a＝1时，<不成立．

答案：①②④

8．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)

解析：⇒

∴a＋2b>0.

而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．

答案：必要但不充分

9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3则(a－b)·c的取值范围是________．

解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0

∴2＞－(a－b)＞0

当－2＜c＜0时，2＞－c＞0，

∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；

当c＝0时，(a－b)·c＝0

当0＜c＜3时，0＜c·[－(a－b)]＜6

∴－6＜(a－b)·c＜0

综上得：当－2＜c＜3时，－6＜(a－b)·c＜4.

答案：－6＜(a－b)·c＜4

10．(精选考题·青岛质检题)给出以下四个命题：

①a>b⇒an>bn(n∈N*)；

②a>|b|⇒an>bn(n∈N*)；

③a<b<0⇒>；

④a<b<0⇒>，其中真命题的序号是________．

解析：①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；③a<b<0，得>成立；④a<b<0，得a－b<0，且a－b>a，故<，④不成立．

答案：②③

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．

解：解法一：(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)．

关于x的二次三项式x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)的判别式为Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1)＝－4m2－4m－3.

二次三项式－4m2－4m－3的判别式为Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0，

∴Δ<0恒成立．

∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)>0，

即x2－x＋1>－2m2－2mx.

解法二：∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)

＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)

＝x2＋(2m－1)x＋2＋2m2＋1－2

＝2＋m2＋m＋

＝2＋＋－2

＝2＋2＋≥>0，

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.

12．已知a、b、c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N且n>2时，比较cn与an＋bn的大小．

分析：考虑比较的是幂的形式，作差不可行，作商处理．

解：∵a、b、c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0

而＝n＋n

∵a2＋b2＝c2，∴2＋2＝1

∴0<<1,0<<1

∵n∈N，n>2，∴n<2，n<2

∴＝n＋n<＝1

∴an＋bn<cn

评析：作商法比较大小，作商——变形——判断商与1的关系．

13．有三个实数m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．

解：不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，

Q＝b2(m－a)＋m2a.

由题意知Q＜P，即Q－P＜0.

∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，

(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.

∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，则a＜b，

这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．

故a＜m＜b不可能成立．

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