高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数课后测评

第2课时　导数的运算法则及复合函数的导数

1．函数y＝的导数是

(　　)．

A.     B.

C.     D.

解析　y′＝′＝

＝.

答案　C

2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为

(　　)．

A.   B. 

C.   D.

解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.

答案　B

3．已知f＝，则f′(x)等于

(　　)．

A.   B．－

C.   D．－

解析　令＝t，则f(t)＝＝，∴f(x)＝，f′(x)＝′＝－.

答案　D

4．若质点的运动方程是s＝tsin t，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．

解析　s′＝(tsin t)′＝sin t＋tcos t，

∴s′(2)＝sin 2＋2cos 2.

答案　sin 2＋2cos 2

5．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.

解析　f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，∴f′(2)＝.

答案　

6．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．

解　∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，

则过该切点的直线的斜率为ex0，

∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．

∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.

∴切点为(1，e)，斜率为e.

7．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为

(　　)．

A．ab   B．－a(a－b) 

C．0   D．a－b

解析　∵y＝x2－(a＋b)x＋ab，∴y′＝2x－(a＋b)，

∴y′|x＝a＝2a－(a＋b)＝a－b.

答案　D

8．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝(　　)．

A．a   B．±a 

C．－a   D．a2

解析　y′＝′＝＝，

由x－a2＝0得x0＝±a.

答案　B

9．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.

解析　f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.

答案　1

10．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．

解析　f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，

∴y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－.

答案　－

11．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线L的距离为，求直线L的方程．

解　y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′

＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x,

∴y′|x＝0＝2.

∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，

即y＝2x＋1.

设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，

根据题意，得＝，

∴b＝6或－4.

∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.

12．(创新拓展)求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．

证明　设f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，两边对等求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，

即－f′(－x)＝－f′(x)，

∴f′(－x)＝f′(x)．

故命题成立.