数学必修 第一册4.4 对数函数教案及反思

这是一份数学必修 第一册4.4 对数函数教案及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；
2.利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。
3.体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
二、教学重难点
1.重点：对数函数的图象和性质。
2.难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系。
三、教学过程
1.对数函数的图象与性质探究
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5-8.5之间。又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[H+]=2.5×10-2摩尔/升。
问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？
【预设的答案】7；是；1.60
（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？ （提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式）
【预设的答案】越强；变化关系为y= —lgx，则需要研究对数函数y=lgx的单调性.
【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。
问题2：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？
【活动预设】引导学生回顾幂函数、指数函数等基本初等函数的研究过程：确定要通过作出对数函数的图象来研究其性质的研究方法，同时要注意分类讨论思想的应用。
1.2探究图象，归纳性质
活动1：作出函数的图象
【活动预设】有的学生采用描点法，有的学生采用计算工具直接作图。
【活动意图】引导全体学生回顾描点法作图的基本方法和步骤，也肯定学生采用信息技术工具作图研究。
活动2：在同一坐标系中作出函数的图象。你有什么发现？
【活动预设】有的学生继续采用描点法或计算工具作图并观察两个函数图象的对称关系，有的学生先观察了与的关于x轴对称的性质再来作图。
【活动意图】让学习活动的发生更符合学生自然的认知规律。动手和观察能力较强的学生可以先观察图象获得“函数与的关于x轴对称”的结论，然后利用这个结论，通过思考体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象。逻辑思维能力较强的学生可以先将函数化简为，通过点的对称性来推理获得函数图象的对称性，再作图。殊途同归，目的是让学生学习用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论。这样思考便于将对数函数的图象分为两类来归纳，学生在指数函数中有过类似的研究，可以自然地理解。
活动3：类似地，你还能作出哪些对数函数的图象？试着观察归纳它们的性质。
【活动预设】
（1）学生小组合作大量举例，改变对数函数中底数a的值（a＞0且不等于1），在此环节中，少部分小组会继续采用描点法（包括采用对称性），较多小组会考虑采用计算工具来进行观察。
（2）观察归纳：观察作出的函数图象，进行文字语言的描述后再将图象特征转化为函数特征，完成表格。
问题3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
【预设的答案】
【设计意图】鼓励学生分析不同作图方式的效率，鼓励学生采用计算工具作图来观察图象变化规律，而且这样探究a的取值自然，所作函数的图象也是自然产生的，利用信息技术能便捷地作出大量图象，易于进行归纳，体验将文字语言转化为数学语言的一般过程。
小结：利用描点法、对称关系的推理及信息技术工具，我们都可以作出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的性质。
教师讲授：反函数的概念
上一节课，在利用碳14同位素法推断出恐龙蛋化石的年代的例子中，我们可以将指数函数等价转化为对数式，这是一个对数函数，且与对数函数为同一个函数。不难发现，交换了x与y的位置后，和这两个函数的定义域和值域正好互换，称这样的两个函数互为反函数。
练习：写出y=lg2x的反函数，说明理由. 你能举出更多的例子吗？
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数,为下面作图研究性质作铺垫.
活动4：画出两组反函数的图象，并观察寻找它们之间的对称关系
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数，且它们的图象关于直线y=x对称。
问题4：据此你能说说如何画出y=lgx的图象吗？作的图象呢？你对对数函数的图象与性质有什么补充和更进一步的认识？
【预设的答案】先作出的图象，再将其关于直线y=x对称翻折；先作出的图象，再将其关于直线y=x对称翻折。通过指对函数的对称关系，我们可以将指数函数中的结论一一类比到对数函数中来，如，当底数a>1时，同底的指、对函数都单调递增，当底数0【设计意图】利用同底指数函数与对数函数之间的对称关系作图，加深知识之间的内在联系，加强利用逻辑推理的方法来获取数学结论，是对对数函数性质的进一步理解与补充。
2. 例题解析,学以致用
例1溶液酸碱度是通过pH计量的.随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？对数函数y=-lgx(x＞0)的单调性如何？
【预设的答案】y=lgx是底数大于1的对数函数，在定义域上单调递增，因此随着x（氢离子浓度）的增大，函数y=-lgx值减小，即溶液的pH值减小，酸性越强。
【设计意图】
（1）回归实际情境，让学生体会学以致用的快乐
（2）用对数函数的单调性来解释学生已经有的化学学习经验，加强学科间的融合。
例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1) lg3.4 与 lg8.5 (2) lg0.31.8 与 lg0.32.7
(3) lg0.40.5 与 1 (4) ln0.5 与 0
(5) lg45 与 lg63 (6) lg0.20.5 与 lg40.3
(7) lga5 与 lga3
【预设的答案】（1）＜;（2）＞;（3）＞;（4）＜;（5）＞;（6）＞;
（7）分类讨论：当a>1时，lga5 ＞ lga3；0【设计意图】
（1）利用对数函数的单调性比较同底对数的大小,加深对数函数性质的理解；当底数用字母来表示时，注意分类讨论思想的应用；
（2）对数与整数比大小或不同底对数比较大小，需要化为同底对数或者是借助中间量来比较大小，渗透了化归与转化的数学思想，同时也是对对数函数的图象与性质的灵活运用。
3.归纳小结，拓展探究
思考：（1）对数函数有哪些性质？结合图象说明。
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数函数图象及性质的认知；
（2）进行探究过程的反思和数学思想方法、核心素养的渗透，鼓励学生进一步观察归纳类比拓展。
四、课外作业
1、课本P135，练习2、3
2、拓展探究：阅读课本P135的探究与发现，并思考其中的问题。类比指数函数，你能研究一下对数函数的图象随底数大小的变化规律吗？跟同学分享你的研究方法和结论，并利用信息技术验证你的结论。
3、查阅资料，了解更多关于对数函数图形及性质的实际应用。