数学人教版新课标B2.2 椭圆一课一练

这是一份数学人教版新课标B2.2 椭圆一课一练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
[答案] A
[解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(0,1]
[答案] A
[解析] 椭圆方程化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1.
焦点在y轴上，则eq \f(2,k)>2，即k<1.又k>0，∴03．P是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A.eq \f(64\r(3),3) B．64(2＋eq \r(3))
C．64(2－eq \r(3)) D．64
[答案] A
[解析] 在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20 ①
由余弦定理知
cs60°＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)－|F1F2|2,2r1·r2)＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)－122,2r2·r2)
＝eq \f(1,2)，即req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－r1r2＝144 ②
①2－②得r1r2＝eq \f(256,3).
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1·r2sin60°＝eq \f(64,3)eq \r(3).
4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝eq \r(a2－b2)，则△PQF面积的最大值是( )
A.eq \f(1,2)ab B．ab
C．ac D．bc
[答案] D
[解析] 设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．
S△PQF＝eq \f(1,2)SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.
即(S△PQF)max＝bc.
5．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
[答案] A
[解析] 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±eq \f(\r(3),2))，即|PF2|＝eq \f(\r(3),2)，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq \r(3)，|PF1|＝eq \f(7\r(3),2)，|PF2|＝eq \f(\r(3),2)，即|PF1|＝7|PF2|.
6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2csα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)π))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(3π,2)))
[答案] C
[解析] 将方程变形为：eq \f(x2,\f(1,sinα))＋eq \f(y2,－\f(1,csα))＝1.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)>0,\f(1,－csα)>0,\f(1,sinα)<\f(1,－csα)))，∴sinα>－csα>0.
∴α在第二象限且|sinα|>|csα|.
7．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )
A.eq \f(9,5) B．3
C.eq \f(9\r(7),7) D.eq \f(9,4)
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝eq \r(7).
∵△PF1F2为直角三角形．
∴P是横坐标为±eq \r(7)的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)
设P(±eq \r(7)，|y|)，把x＝±eq \r(7)
代入椭圆方程，知eq \f(7,16)＋eq \f(y2,9)＝1⇒y2＝eq \f(81,16)⇒|y|＝eq \f(9,4).
8．(2009·江西)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
[答案] B
[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．
把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±eq \f(b2,a)，
∴|PF1|＝eq \f(b2,a)
∴|PF2|＝eq \f(2b2,a)，
故|PF1|＋|PF2|＝eq \f(3b2,a)＝2a，即3b2＝2a2
又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，
∴(eq \f(c,a))2＝eq \f(1,3)，即e＝eq \f(\r(3),3).
9．(2009·山东威海)椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y3,3)＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于eq \f(1,1 000)的等差数列，则n的最大值是( )
A．2 000 B．2 006
C．2 007 D．2 008
[答案] A
[解析] ∵椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于eq \f(1,1 000)，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝eq \f(2,n－1)>eq \f(1,1 000)，n－1<2 000，
即n<2 001.∴故选A.
10．已知点(4,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，则l的方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－4＝0
D．x＋2y－8＝0
[答案] D
[解析] 设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2), 中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),x\\al(2,1)－x\\al(2,2))＝－eq \f(9,36)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(9,36)，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.
二、填空题
11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．
[答案] eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1
[解析] 由题意设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，∴2a＝4.
∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，
∴方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.
12．设F1、F2是椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cs∠F1PF2＝____________.
[答案] eq \f(3,5)
[解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，
∴|PF1|＝eq \f(5,2)，|PF2|＝eq \f(3,2)，|F1F2|＝2，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－22,2×\f(5,2)×\f(3,2))＝eq \f(3,5).
13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0[答案] (2,4]
[解析] 由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(1,a2)
得0<1－eq \f(1,a2)≤eq \f(3,4).
从而－1<－eq \f(1,a2)≤－eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,4)≤eq \f(1,a2)<1，故1∴114．设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，eq \f(3,2))到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
[答案] eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 (±1,0)
[解析] 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.
∴原方程化为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1，将A(1，eq \f(3,2))代入方程得b2＝3.
∴椭圆方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，焦点坐标为(±1,0)．
三、解答题
15．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴交点为C，又B为线段CF1的中点，若|k|≤eq \f(\r(14),2)，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析] 设l：y＝k(x＋c)则C(0，kc)，B(－eq \f(c,2)，eq \f(kc,2))．
∵B在椭圆上，∴eq \f(c2,4a2)＋eq \f(k2c2,4b2)＝1.
即eq \f(c2,4a2)＋eq \f(k2c2,4(a2－c2))＝1⇒e2＋eq \f(ke2,1－e2)＝4.
∴k2＝eq \f((4－e2)(1－e2),e2)≤eq \f(7,2)⇒2e4－17e2－8≤0⇒
eq \f(1,2)≤e2<1⇒eq \f(\r(2),2)≤e<1.
16．已知椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(1)直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．
(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x＋y＝9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．
[解析] (1)直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1,y＝x＋m))有两组不同解，
消去y，得
3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
－2eq \r(3)∴实数m的取值范围是(－2eq \r(3)，2eq \r(3))．
(2)依题意，F1(－2,0)、F2(2,0)．
作点F1(－2,0)关于l′的对称点F1′(9,11)．
设P是l′与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|
＝|PF′1|＋|PF2|≥|F′1F2|＝eq \r(72＋112)＝eq \r(170).
∴(2a)min＝eq \r(170)，
此时，a2＝eq \f(170,4)＝eq \f(85,2)，b2＝a2－c2＝eq \f(77,2).
∴长轴最短的椭圆方程是eq \f(x2,\f(85,2))＋eq \f(y2,\f(77,2))＝1.
17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
I
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
[解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝eq \f(44\r(7),7)，
此时l＝2a＝eq \f(88\r(7),7)≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
18．椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e＝eq \f(\r(3),2)，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，|PQ|＝eq \f(20,9)，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程．
[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
当PQ⊥x轴时，F(－c,0)，|FP|＝eq \f(b2,a).
又∵|FQ|＝|FP|，
且OP⊥OQ，
∴|OF|＝|FP|，即c＝eq \f(b2,a)，
∴ac＝a2－c2，e2＋e－1＝0.
∴e＝eq \f(\r(5)－1,2).与题设e＝eq \f(\r(3),2)不符，所以PQ不垂直于x轴，设PQ所在直线方程为y＝k(x＋c)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵e＝eq \f(\r(3),2)，∴a2＝eq \f(4,3)c2，b2＝eq \f(1,3)c2.
∴椭圆方程可化为3x2＋12y2－4c2＝0.
将PQ所在直线方程代入，得(3＋12k2)x2＋24k2cx＋12k2c2－4c2＝0.
由韦达定理，得x1＋x2＝－eq \f(24k2c,3＋12k2)，
x1x2＝eq \f(12k2c2－4c2,3＋12k2).
由|PQ|＝eq \f(20,9)，得eq \r(1＋k2).eq \r((－\f(24k2c,3＋12k2))2－\f(4(12k2c2－4c2),3＋12k2))
＝eq \f(20,9).①
∵OP⊥OQ，∴eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2＋k2c(x1＋x2)＋c2k2＝0，②
联立①②解得c2＝3，k2＝eq \f(4,11).
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.