高中数学沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质学案

6.5最简三角方程（1）

【教学目标】

1．理解三角方程解集的概念，掌握最简三角方程、与的解集的一般表示形式．

[说明]解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，因此，必须在理解的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．同时，特别要注意方程：的解集是，的解集是

．

2．会解简单的三角方程（形如，，等）．

[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为、的齐次式；（4）引入辅助角．

3．利用单位圆、函数的图像解与三角函数有关的方程问题.

【教学重点与难点】

重点：最简三角方程的解集；难点：简单三角方程在指定范围内的解和增根、失根问题．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

【教学过程】

一、情景引入

1．观察

问题：关于的等式，角有无数多个？如何得到满足条件的值？

因为，所以．还可以写出哪些满足条件的的值？

x=（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）

还有其它满足条件的值吗？

有！因为诱导公式，所以也满足条件．

为了方便，可以选择正弦函数,长度为一个周期的区间内,研究的解．如图所示：在平面上作直线交正弦函数在该区间内于两点，则的横坐标就是，即方程的解是.考虑到函数的周期为，所以的通解是．

也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在平面上作直线交单位圆于两点，则就是角的终边，也是角的终边，可得到的通解：．

2．思考

既然的解集是

，那么能否将的解集写成

的形式？

3．讨论

的解集:

当时，直线与单位圆无交点，因而方程无解；

当时，直线与单位圆有一个交点，所以的解集是；同样,当时，直线与单位圆也有一个交点，的解集是；

而当时，直线与单位圆有两个交点，的解集是,即

．

二、学习新课

1．概念辨析

（1）三角方程的定义：

我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集．

（2）最简三角方程的定义：

形如的方程叫做最简三角方程．

（3）最简三角方程的解集：

    即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．

最简三角方程的解集，见下表：

2．例题分析

例1、求下列方程的解集.

（1）； （2）；  （3）.

 解  （1）将原方程化为  ，可得原方程的解集为：

      （2）将原方程化为，可得原方程的解集为：=   （3）将原方程化为  ，可得原方程的解集为

例2、根据下列条件，求方程的解.

（1）为锐角；   （2）为某三角形内角；  （3）为第二象限角；  （4）

解： （1）由题设得；  （2），或；

（3）；（4）．

例3、求方程的解集．

解   将原方程化为  ， 可得，

 由，  得  ；

  由，  得  ．

所以原方程的解集为．

例4、解方程．

解：将原方程化为：，可得，

即．

当时，；当时，；当时，．当取其他取值所得的都不合题意，所以原方程的解集为．

 [说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：，根据所求解是锐角，把解直写成，解得，就少了两个解．另外本题应使用角度制.

例5、解方程．

解一  两边平方，整理得， ∴

经检验，为增根．

原方程的解集为．

[说明]产生增根的原因是“两边平方”．事实上，所增的根正好是方程的根．

解二  移项得：， 两边同除以，得

，即，解得，∴．

[说明]这里出现失根，正好是除式的根．

解三  引入辅助角，化为

      解得：，∴．

    原方程的解集为．

[说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要．

3．问题拓展

例6、关于x的方程有实数解,求的取值范围．

解   由原方程得  ，即  ．

     要使方程有解，只需．解得．

所以的取值范围为．

[说明] 当方程有解时，必须满足．

三、巩固练习

1、（口答）求下列方程的解集.

（1）； （2）；   （3）．

2、求下列方程的解集.

（1）sin2x＝；    （2）．

3、根据下列条件，求下列方程的解集.

（1），；（2），．

4、求方程内的所有实根之和．

5、若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），求α的值 .

四、课堂小结

本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点．

五、练习册