北师大版必修53解三角形的实际应用举例教案

一、选择题

1．甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是(　　)

A．2千米　　　    B．2千米

C.千米        D．1千米

解析：设甲走的距离为x千米，

则由余弦定理得()2＝x2＋22－4xcos 60°

整理得x2－2x＋1＝0.解得x＝1(千米)．

答案：D

2．(2012·中山高二检测)某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)

A．100 m       B．100 m

C．50(＋) m      D．200 m

解析：如图，∠BAC＝75°－30°＝45°.在△ABC中，AC＝100 m，由正弦定理得 ＝.

∴BC＝＝＝100 m.

答案：A

3．(2012·洛阳高二检测)如图在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan ∠OPQ＝(　　)

A.       B.

C.       D．1

解析：由题意知PQ＝QR，设其长为1，则PR＝2.

在△OPR中，由正弦定理得＝，在△OQR中，由正弦定理得＝，

则tan ∠OPQ＝＝＝.

答案：C

4.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)

A.        B．2－

C.－1       D.

解析：在△ABC中，BC＝＝

＝50(－)，

在△BCD中，

sin ∠BDC＝＝

＝－1，

由图知cos θ＝sin ∠ADE＝sin ∠BDC＝－1.

答案：C

二、填空题

5．(2012·诸诚高二检测)在高200米的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为________．

解析：如图，山高CD＝200，∠DCB＝30°，在Rt△BCD中

CB＝＝

在△ABC中，∠ACB＝30°，

∠BAC＝120°.

由正弦定理得＝

AB＝＝.

答案：

6．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________．

解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v海里/小时，

则在△ABC中，

AC＝10×2＝20(海里)，

AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784.

所以BC＝28(海里)．

所以v＝14(海里/小时)．

答案：14海里/小时

三、解答题

7．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

解：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.

则DF＝

＝＝10 m，

DE＝＝＝130 m，

EF＝＝＝150 m.

在△DEF中，由余弦定理，得

cos ∠DEF＝

＝＝.

8.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知AB＝5(3＋)海里，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得＝，

∴DB＝＝

＝＝＝10(海里)，

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC

＝30°＋(90°－60°)

＝60°，BC＝20(海里)，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC

＝300＋1200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

即救援船到达D点需要1小时．