高中数学北师大版必修53解三角形的实际应用举例导学案

§3　解三角形的实际应用举例

实际问题中的有关术语

阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．

思考：(1)方位角的范围是什么？

[提示]　[0°，360°)

(2)若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？

[提示]　南偏西60°.

1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(　　)

A．北偏西34°27′　　 B．北偏东55°33′

C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′

[答案]　A

2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东5°

B．北偏西10°

C．南偏东5°

D．南偏西10°

[答案]　B

3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A．50m B．50m

C．25m D．m

A　[由正弦定理得＝，

又∵B＝30°，

∴AB＝＝＝50(m)．]

4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米，则塔吊的高是______米．

45　[如图所示，设塔吊为BC，由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝45(米)．]

【例1】　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________．

5海里　[如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，

由正弦定理，可得＝，

所以BC＝×10＝5(海里)．]

求距离问题时应注意的三点

(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．

1．(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

(2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？

(1)8(－1)　[根据正弦定理得

＝，

所以AB＝

＝

＝＝8(－1)(m)，

即A，B间的距离为8(－1)m.]

(2)[解]　由正弦定理得

AC＝

＝＝

＝10(1＋)(米)，

BC＝

＝＝20(米)．

在△ABC中，由余弦定理得

AB＝＝10(米)．

所以A，B两点间的距离为10米．

【例2】　如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.

100　[在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m)．

在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100(m)．]

求解高度问题应注意的三个问题

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

2．如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD．

[解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，

所以CD＝AD．

因此只需在△ABD中求出AD即可，

在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，

由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．

即山的高度为800(＋1) m.

[探究问题]

1．方位角是怎样规定的？其范围是多少？

[提示]　方位角是从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，其范围是[0,2π)．

2．方向角是怎样规定的？其范围是多少？

[提示]　正北或正南方向线与目标线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度，其范围是[0°，90°)．

3．若P在Q的北偏东60°，则Q在P的南偏西多少度？

[提示]　60°.

【例3】　如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

思路探究：结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．

[解]　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里．

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6，

∴BC＝海里．

又∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

＝，

∴sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°，

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，

∴t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

1．(变结论)假设在例3中，缉私船以最快的速度截获走私船(在D点)，把走私船带到海岸A处进行处理，求∠ADB的正弦值．

[解]　由例3解答可知CD＝3，CB＝BD＝，∠CBD＝120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，又∠ACB＝15°，

则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得

AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos 45°＝4＋18－2×2×3×＝10，故AD＝，

在△ABD中，由正弦定理得＝，

即＝，解得sin∠ADB＝.

2．(变条件)把例3中条件“走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜”改为“走私船正以15海里/时的速度，从B处向正北方向逃窜”，则例3的结果应是什么？

[解]　由例3的解答可知BC＝，设缉私船沿CD方向，才能最快截获(在D点)走私船(如图所示)，

由题意知△CBD是直角三角形，

且CD＝10t，BD＝15 t，

所以sin∠BCD＝＝＝，

故∠BCD＝60°，10tcos 60°＝，

所以t＝(小时)．

所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时．

求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：

(1)明确各个角的含义；

(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；

(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正弦定理求解．

1．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．

2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是 .(　　)

(2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°.(　　)

(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

[提示]　(1)错误，俯角是视线与水平线所成的角；

(2)错误，在O点测得点A的方位角应为330°.

(3)正确．

2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(　　)

A．α，a，b　　　 B．α，β，a

C．a，b，γ D．α，β，b

A　[选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB．选项C中可由余弦定理确定AB．选项D同B类似．]

3．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时．

14　[由题可得右图．

不妨设我舰追上敌舰时在C点．

则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，

∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，∴BC＝28，

∴速度v＝＝14(海里/小时)．]

4．2018年10月10日，飓风“迈克尔”袭击美国东部，如图所示，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，求x.

[解]　由题意∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，

∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，

∵＝，

∴x＝(m)．