2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§7正切函数学案含解析北师大版必修第二册

§7　正切函数

知识点1　正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ ＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠_＋kπ(k∈Z)．

1.设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？

[提示]　当a≠0时，有意义．tan α＝，α∈R，α≠ ＋kπ(k∈Z).

1.若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________ .

－　[由tan θ＝＝＝，∴m＝－.]

知识点2　正切函数的诱导公式

tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)

tan (－α)＝－tan α

tan (π＋α)＝tan α

tan (π－α)＝－tan α

tan ＝－

tan ＝

2.(1)tan (－)＝________．

(2)已知P(2，3)是角α终边上一点，则tan (π＋α)＝________．

(1)　(2)　[(1)tan (－)＝－tan

＝－tan (－＋3π)＝－tan (－)＝tan ＝.

(2)由题知tan α＝＝.

∴tan (π＋α)＝tan α＝.]

知识点3　正切函数的图象与性质

2.能否说正切函数在整个定义域内是增函数？

[提示]　不能．正切函数y＝tan x在每段区间，k∈Z上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．

3.(1)思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

①正切函数为定义域上的增函数． (　　)

②存在区间，使正切函数y＝tan x单调递减． (　　)

③若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数． (　　)

④正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. (　　)

[答案]　①×　②×　③×　④×

(2)函数y＝tan x的对称中心坐标为(　　)

A．，k∈Z　 B．，k∈Z

C．，k∈Z     D．，k∈Z

C　[y＝tan x的图象及其渐近线与x轴的交点都是对称中心．]

类型1　正切函数的定义及诱导公式

【例1】　已知点P(，a)是角α与单位圆的交点，且sin α＞0.

(1)求tan α；

(2)求的值．

[解]　(1)∵P(，a)是单位圆上一点，

∴()2＋a2＝1，∴a＝±，

∵sin α＝a＞0，∴a＝，

∴tan α＝.

(2)原式＝＝＝＝.

1.解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝．

2.已知角α终边上的一点，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解．

1．(1)已知点Q(1，a)是角α终边上一点，且α＝60°，则a＝(　　)

A．－    B．    C．    D．－

(2)tan ＋tan (－)＝________．

(3)已知tan (π－α)＝－，则tan (－α)＝________．

(1)B　(2)0　(3)2　[(1)由题意知，tan 60°＝a＝.

(2)∵tan ＝tan (6π＋)＝tan ＝，

tan (－)＝tan (－6π＋)＝tan ＝－tan ＝－

∴tan ＋tan (－)＝＋(－)＝0.

(3)∵tan (π－α)＝－tan α＝－，

∴tan α＝，

∴tan (－α)＝＝2.]

类型2　正切函数的图象

【例2】　作出函数y＝tan |x|的图象，判断函数的奇偶性及周期性.

去掉绝对值号，先作出x≥0时的图象，再利用图象变换作出x<0时的图象．

[解]　∵y＝tan |x|＝

∴当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图象即为y＝tan x在y轴右侧的图象．

当x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，如图所示．

由图象知，函数y＝tan |x|是偶函数，但不是周期函数．

作正切函数的图象时，先画一个周期的图象，再把这一图象向左、右平移．从而得到正切函数的图象，根据图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是，两线是直线x＝±为渐近线．

2．作出函数y＝的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性．

[解]　由y＝得 ，

y＝

其图象如图．

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，单调递增区间为[kπ，＋kπ)，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.

类型3　正切函数的性质

【例3】　(教材北师版P60例4改编)已知f(x)＝2tan .

(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；

(2)求f(x)的最小正周期．

(1)通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图象的特点可判断函数的最小正周期．

[解]　(1)∵f(x)＝2tan ＝－2tan x，x∈，∴f(－x)＝－2tan (－x)＝2tan x＝－f(x).又定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数．

(2)f(x)的最小正周期为π.

对于形如y＝(A，ω，φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．

3．已知函数y＝tan (ωx＋)(ω＜0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性．

[解]　y＝tan (ωx＋)(ω＜0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2.

因为ω＜0，所以ω＝－2，

故y＝tan (－2x＋)＝－tan (2x－).

由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，

所以该函数的定义域为，值域为R.

由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．

1．若角α的终边上有一点P(2x－1，3)，且tan α＝，则x的值为(　　)

A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D．

B　[由正切函数的定义知tan α＝＝，解得x＝8.]

2．函数f(x)＝tan 的单调递增区间为(　　)

A．，k∈Z

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C．，k∈Z

D．，k∈Z

C　[由kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z.解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z故选C.]

3．函数y＝tan 2x的定义域为________.

　[由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z).解得x≠＋(k∈Z).]

4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．

[0，1]　[函数y＝tan x在上是递增的，所以ymax＝tan ＝1，ymin＝tan 0＝0.]

5．函数y＝tan (2x＋θ)图象的一个对称中心为，则θ的值为________．

或－　[因为函数y＝tan (2x＋θ)的一个对称中心为，

∴2·＋θ＝，k∈Z.

∴θ＝－π，k∈Z.

又∵－<θ<，

∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.

∴满足题意的θ为或－.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何作出正切曲线的简图？

[提示]　作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝，然后描出三个点(0，0)，，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．

2.正切函数的性质与正弦、余弦函数的性质有何区别？

[提示]　正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．

(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1，1]，正切函数是无界函数，值域为R.

(2)正弦、余弦函数的图象是连续的，定义域为R，正切函数的图象是不连续的，定义域为

(3)正弦、余弦函数均是既有递增区间又有递减区间，而正切函数在每一个区间，k∈Z上都是递增的．