湘教版必修37.5空间直角坐标系教学设计

3．3．3两条直线的位置关系―点到直线的距离公式

三维目标：

知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；

能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离

情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

教学重点：点到直线的距离公式

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.

教学方法：学导式

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程

  一、情境设置，导入新课：

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。

         用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

两条直线方程如下：

.                                       

二、讲解新课：

1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：

 （1）提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?

学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.

这里体现了"画归"思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d 

此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，

由得.

所以，｜PＲ｜＝｜｜＝

｜PS｜＝｜｜＝

｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜

所以

可证明，当A=0时仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。

3．例题应用，解决问题。

例1 求点P=（-1，2）到直线  3x=2的距离。

解：d=

例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则

S=

     ，

AB边上的高h就是点C到AB的距离。

AB边所在直线方程为

即x+y-4=0。

点C到X+Y-4=0的距离为h

h=，

 因此，S=

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

同步练习：114页第1，2题。

4．拓展延伸，评价反思。

（1） 应用推导两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为

证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为

又

即，∴d＝

的距离.

解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥

例3 求两平行线：，：，所以点P到的距离等于与的距离.于是

解法二：∥又.

由两平行线间的距离公式得

四、课堂练习：

1， 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。

五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

六、课后作业：

13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.

14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：

15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为

七．板书设计：略