高中数学3.4 概率的应用教学设计

四川省古蔺县中学高中数学必修三：3.4概率的应用

教学目标：结合实际问题情景，理解概率的应用

教学重点：结合实际问题情景，理解概率的应用

教学过程：

   1．概率依赖于观察者  

至少在数学中概率是依赖于观察者的。

现在，考虑一个日常生活的例子。如果我们说“‘张三得肺结核的概率’是2％”，那么，在这一命题有意义的限度内，它是指

第一，某一人群G有2％的人得了肺结核；

第二，张三属于人群G。

在这里，第一个条件与观察者无关，是一个客观条件；但第二个条件则是观察者的已知条件，是一个主观条件。如果换一个观察者，当然不会有“张三不属于人群G”这样的相反的已知条件，但不同的观察者对张三属于什么人群的认识可能是各式各样的。例如，“张三是青岛大学的一个学生”、“张三是一个二十岁的年轻人”或者“张三是山东人”，等等。在“青岛大学学生”、“二十岁的年轻人”和“山东人”的这些人群中，得肺结核的人的比例是不同的，张三得肺结核的概率就因此而有所不同。

如果经过透视，查明张三没有得肺结核，那么张三得肺结核的概率就是零。这样，在透视前后，张三得肺结核的概率从0.02突变为0。显然，张三的健康情况并未因为这次透视而有所改变。那么，这次透视究竟改变了什么呢？是给张三作透视的这位大夫对张三的健康情况的“认识”，确切地说，是这位大夫的“已知条件”。在透视之前，他只知道张三属于一个有2％的人得了肺结核的人群；透视之后，他有了进一步的认识，知道张三同时还属于经过他透视排除了的肺结核的可能性的那个人群。在这里，关键是“已知条件”，而不是“大夫”这个人，我们可以把这位大夫换成任何一个掌握了相同的已知条件的另一位观察者。由此可见，在日常生活中，概率也依赖于观察者。

2．例1 李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三年级的12个班（每班50人）同学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道这是一种巧合吗？

解析：本题即求50个同学中出现生日相同的机会有多大？

我们知道，任意两个人的生日相同的可能性为1/365×1/365≈0.0000075，确实非常小，那么对于一个班而言，这种可能性是不是也不大呢？

正面计算这种可能性的大小并不简单，因为要考虑可能有2个人生日相同，3个人生日相同，……有50个人生日相同的这些情况。如果我们从反而来考察，即计算找不到俩个人生日相同的可能性，就可知道最少有两个人生日相同的可能性。

对于任意2个人，他们生日不同的可能性是 （365/365）×（364/365）=365×364/3652

对于任意3个人，他们中没有生日相同的可能性是

365/365×364/365×363/365=365×364×363/3653；

类似可得，对于50个人，找不到两个生日相同的可能性是

365×364×363×…×316/36550≈0.03，因此，50个人中至少有两个人生日相同的机会达97%，这么大的可能性有点出乎意料，然而事实就是如此，高三年级的12个班级（每班50人）都有两位同学生日相同的事件发生，并非巧合。那么，50人中有3人生日相同的概率有多大？请读者计算。

3．认定闯祸的是红色出租车，这公平吗？

深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由

解析：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为0.41，而它是蓝色的概率为0.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的。

4．你能设计一个摸奖方案吗？

某食品公司为新产品问世拟举办2004年国庆促销活动，方法是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同。另有一只棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱（木箱上方可容一只手伸人）。该公司拟按中奖率1%设大奖，其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元。请你按公司的要求设计一个摸彩方案。

解析：本题并不要求计算中奖概率，而是在给定的中奖率条件下设计摸奖的方案，因此本题是个开放性问题，可以有多种构思，可谓“一果多因”。我们不妨提出了如下5个方案：

方案1：在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球。顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖。

方案2：在箱内放置14个乒乓球，其中2个为黄球，12个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个均为黄球中大奖，否则中小奖。

方案3：在箱内放置15个乒乓球，其中2个为黄球，13个为白球，顾客摸球和中奖办法与方案2相同。

方案4：在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个均为黄球为中大奖，否则中小奖。