2021学年2.2 等差数列教学设计

2013年高考数学总复习 6-2 等差数列但因为测试 新人教B版

1.(文)(2011·温州十校二模)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为(　　)

A．12　 　　 B．18　 　　

C．22　 　　 D．44

[答案]　C

[解析]　根据等差数列的性质可知S11＝＝＝＝22，故选C.

(理)(2011·北京海淀期中)已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝(　　)

A．10　 　　 B．16　 　　

C．20　 　　 D．24

[答案]　C

[解析]　S3＝3a2，又S3＝12，∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a4＝a1＋3d＝8，S4＝＝20，故选C.

2．(文)(2011·福州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是(　　)

A．64   B．72 

C．54   D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.

所以S9＝＝9a5＝54.

(理)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　)

A．12   B．8 

C．6   D．4

[答案]　B

[解析]　由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，

∴a8＝8.

∴m＝8.故选B.

3．(文)(2011·西安五校一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．8   B．7 

C．6   D．9

[答案]　C

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，依题意得a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.令an>0得n>6.5，即在数列{an}中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n＝6时，Sn取最小值，选C.

(理)(2011·江西八校联考)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　)

A．22   B．21 

C．20   D．19

[答案]　C

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝99，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n>0得n<20.5，即在数列{an}中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n项和中，S20最大．依题意得知，满足题意的k值是20，选C.

4．(文)(2010·山东青岛质检)已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　)

A．3   B．－1 

C．2   D．3或－1

[答案]　D

[解析]　由x2－2x－3<0及x∈Z得x＝0,1,2.

∴a4＝3或－1.故选D.

(理)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)

A.1   B. 

C.   D.

[答案]　C

[解析]　设x2－2x＋m＝0的根为x1，x2且x1<x2，

x2－2x＋n＝0的根为x3，x4且x3<x4，且x1＝，

又x1＋x2＝2，∴x2＝，

又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差数列，

∴公差d＝(－)＝，∴x3＝，x4＝.

∴|m－n|＝|×－×|＝，故选C.

5．(2011·江西九校联考)已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为(　　)

A．16   B．11 

C．－11   D．±11

[答案]　B

[解析]　依题意得x＋y＝2＋3＝5，mn＝2×3＝6，x＋y＋mn＝11，选B.

6．(文)在函数y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为(　　)

A．f(x)＝2x＋1    B．f(x)＝4x2

C．f(x)＝log3x    D．f(x)＝x

[答案]　D

[解析]　对于函数f(x)＝x上的点列(xn，yn)，有yn＝xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝xn＋1－xn＝d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.

[点评]　根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．

(理)(2011·江南十校联考)已知直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　B

[解析]　依题意，将(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0化为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令，解得，∴直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0过定点(1,3)，

∴a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，

∴bn＝＝(－)，

∴T10＝×(－＋－＋…＋－)

＝×(1－)＝.故选B.

7．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则的值为________．

[答案]　20

[解析]　依题意得①，或②，或③.由①得a＝b＝c，这与“a，b，c是递减的等差数列”矛盾；由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，因此a＝－2b，c＝4b，＝20；由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，因此有c＝－2b，a＝4b，＝20.

8．(文)(2011·天津文，11)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．

[答案]　110

[解析]　由题意，设公差为d，，

解得

∴S10＝10a1＋d＝110.

(理)(2011·江苏南通、扬州、泰州高三调研)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

[答案]　105

[解析]　∵，

∴∴，

∵d>0，∴，

∴a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝105.

9．(文)将正偶数按下表排成5列：

那么2010应该在第________行第________列．

[答案]　252,4

[解析]　通项an＝2n，故2010为第1005项，∵1005＝4×251＋1，

又251为奇数，因此2010应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．

(理)已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：

记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(21,12)＝________.

a1

a2　a3　a4

a5　a6　a7　a8　a9

… … … … … … … … … …

[答案]　412

[解析]　由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第一个数为401，第12个数为412，

即A(21,12)＝412.

10．(文)(2011·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的第n项和Tn.

[解析]　(1)由已知点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，可得Sn＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5，

当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，∴an＝6n－5.

(2)bn＝＝

＝(－)

∴Tn＝(－＋－＋…＋－)

＝(1－)＝－.

(理)(2011·重庆文，16)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，

解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2

∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n

(2)数列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1

∴Sn＝＋[n×1＋×2]

＝2n＋1＋n2－2.

11.(文)(2011·合肥一模)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)

A．1＋   B．1－

C．3＋2   D．3－2

[答案]　C

[解析]　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，

∵a1>0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.

又q>0，因此有q＝1＋，

∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，选C.

(理)已知在等差数列{an}中，对任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{an}的公差是(　　)

A．－2或－3   B．2或3

C．－2   D．3

[答案]　A

[解析]　由2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，

由S15＝m得a8＝.

又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，

解之得m＝0，或m＝－45，

则a8＝0，或a8＝－3.

由3d＝a8－a5得d＝－2，或d＝－3.

12．(2011·烟台诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0，S16<0，则，，…，中最大的是(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　C

[解析]　⇒⇒.

∴0<S1<S2<…<S8>S9>S10>…>S15>0>S16，a1>a2>…>a8>0>a9

∴最大．故选C.

13．(文)(2011·湖北文，9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)

A.1升   B.升 

C.升   D.升

[答案]　B

[解析]　设该数列为{an}公差为d，则

即解之得，

所以第5节的容积为a5＝a1＋4d＝＋×4＝.

(理)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则·等于 (　　)

A．2011   B．－2011 

C．0   D．1 [答案]　A

[解析]　S21＝S4000⇒a22＋a23＋…＋a4000＝0⇒a2011＝0，

又P(1，an)，Q(2011，a2011)，则＝(1，an)，＝(2011，a2011)，

∴·＝(1，an)·(2011，a2011)＝2011＋ana2011＝2011，故选A.

14．(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足xn－xn－1＝d，(n∈N*，n≥2)，其中d为常数，x1＋x2＋…＋x20＝80，则x5＋x16＝________.

[答案]　8

[解析]　由xn－xn－1＝d知{xn}为公差为d的等差数列，

∴x1＋x2＋…＋x20＝80⇒10(x1＋x20)＝80⇒x1＋x20＝8，

∴x5＋x16＝x1＋x20＝8.

(理)(2011·莱阳模拟)数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝0，b1＝－4，用Sk、Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk＋Sk′＝0，则ak＋bk＝________.

[答案]　4

[解析]　由条件知，Sk＋Sk′＝d＋d′－4k＝－4k＝0，

∵k是正整数，∴(k－1)(d＋d′)＝8，

∴ak＋bk＝(k－1)d－4＋(k－1)d′

＝(k－1)(d＋d′)－4＝4.

15．(文)(2011·杭州质量检测)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2＝an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Bn.

[解析]　(1)由2＝an＋1，n＝1代入得a1＝1，

两边平方得4Sn＝(an＋1)2                                               ①

①式中n用n－1代替得4Sn－1＝(an－1＋1)2

　(n≥2)                                             ②

①－②，得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2,0＝(an－1)2－(an－1＋1)2，

[(an－1)＋(an－1＋1)]·[(an－1)－(an－1＋1)]＝0，

∵{an}是正数数列，∴an－an－1＝2，

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴an＝2n－1.

(2)bn＝＝

＝，

裂项相消得Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.

(理)(2011·河南郑州质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝1，b3＋b7＝18，且bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

[解析]　(1)由题意Sn＝2－an，                          ①

当n≥2时，Sn－1＝2－an－1，                            ②

①－②得an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，

即an＝an－1，又a1＝S1＝2－a1，

∴a1＝1，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．所以an＝；

由bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)知，数列{bn}是等差数列，

设其公差为d，则b5＝(b3＋b7)＝9，

所以d＝＝2，bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1.

综上，数列{an}和{bn}的通项公式为

an＝，bn＝2n－1.

(2)cn＝＝(2n－1)·2n－1，

Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，           ③                       

2Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，     ④       

③－④得：－Tn＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n

＝1＋2×－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3.

∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.

1．(2011·郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　D

[解析]　设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，＝＝，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，＝＝＝，故选D.

2．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第(　　)组．

A．30   B．31 

C．32   D．33

[答案]　C

[解析]　因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n＝31，则n2＋n＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．

3．(2011·黄冈3月质检)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝(　　)

A．1033   B．2057

C．1034   D．2058

 [答案]　A

[解析]　依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝＋10＝210＋9＝1033，故选A.

4．(2010·北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是(　　)

A．i<4?   B．i<5?

C．i≥5?   D．i<6?

[答案]　D

[解析]　由题意知S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝，故要输出S＝，i＝5时再循环一次，故条件为i≤5或i<6，故选D.

5．已知函数f(x)＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝______时，f(ak)＝0.

[答案]　14

[解析]　∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.

∵{an}为等差数列且d≠0，

∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧，

∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.

∴k＝14.

6．(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．

[答案]　4

[解析]　设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a＝a2·a4＝4，又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8×()n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为4.

7．(2011·浙江金华联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

[解析]　设公差为d.

由已知得

联立解得d＝1或d＝0(舍去)，

∴a1＝2，故an＝n＋1.

(2)＝＝－，

∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝.

∵Tn≤λan＋1，∴≤λ(n＋2)，∴λ≥.

又＝≤＝.

等号在n＝即n＝2时成立．

∴λ的最小值为.