必修52.2 等差数列教案

等差数列的前n项和·例题解析

【例1】  等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

解  依题意，得

解得a1=113，d=－22．∴ 其通项公式为

an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135

∴a6=－22×6＋135＝3

说明  本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而

即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．

【例4】  在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

解  依题意2＝1＋(2n＋2－1)d　　　　　　　　　　　　①

由①，有(2n＋1)d=1 ⑤

∴ 共插入10个数．

【例5】  在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．

且Sm＝Sn，m≠n

∴Sm+n＝0

【例6】  已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．

d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．

解方程组得：d＝－2，a1＝9

∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11

其余各项为负．数列{an}的前n项和为：

∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n

当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn

∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50

说明  根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．

【例7】  在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．

解法一  由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34

＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170

由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20  ∴a1＋a20=17

S20＝170

【例8】  已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．

解法一  设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得

由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4

再由d＞0，得d＝2  ∴a1=－10

最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180

解法二  由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7  即a3＋a7＝－4

又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根

解方程可得x1=－6，x2＝2∵  d＞0  ∴{an}是递增数列

∴a3＝－6， a7=2

【例9】  等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

[    ]

∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199

解法二  利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋bn

可设Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k

说明  该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由

k是常数，就不对了．

【例10】  解答下列各题：

(1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；

(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；

(3)已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；

(4)已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．

分析与解答

a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32

(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350

(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50

又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21

∴a4＋a17=a6＋a15=25

(4)∵an=33－3n  ∴a1＝30

∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．

【例13】  等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．

解法一  设{an}的公差d

按题意，则有

=－(m＋n)

解法二  设Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)

①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m

∵m≠n  ∴ A(m＋n)＋B=－1

故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)

即Sm+n＝－(m＋n)

说明  a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)

【例14】  在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？

解  ∵S偶项－S奇项=nd

∴nd=90－75=15

又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27

【例15】  在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．

解法一  建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．

∵a1=25，S17＝S9  解得d＝－2

∴当n=13时，Sn最大，最大值S13＝169

解法二  因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等

∵a1＝25，S9＝S17

∴an=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．

解法三  利用S9=S17寻找相邻项的关系．

由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0

而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14

∴a13＋a14＝0，a13=－a14  ∴a13≥0，a14≤0

∴S13=169最大．

解法四  根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．

∵{an}是等差数列

∴可设Sn＝An2＋Bn

二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S9＝S17，

∴取n=13时，S13＝169最大