2020-2021学年3.2.2 对数函数教案

第27课时  对数函数的运用

教学目标：

使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.

教学重点：

复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.

教学难点：

复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.

教学过程：

［例1］设loga＜1，则实数a的取值范围是

A.0＜a＜          B. ＜a＜1

C.0＜a＜或a＞1        D.a＞

解：由loga＜1＝logaa得

(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜

(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞，∴a＞1

综合（1）(2)得：0＜a＜或a＞1                               答案：C

［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是

A.0.76＜log0.76＜60.7                       B.0.76＜60.7＜log0.76

C.log0.76＜60.7＜0.76                       D.log0.76＜0.76＜60.7

解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0                         答案：D

［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小

解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| |－| |

＝(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x

∴上式＝－ [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－·lg(1－x2)

由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，

∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|

解法二：作商法

＝|log(1－x)(1+x)|

∵0＜x＜1       ∴0＜1－x＜1+x

∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)

由0＜x＜1       ∴1+x＞1，0＜1－x2＜1

∴0＜(1－x)(1+x)＜1       ∴＞1－x＞0

∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)＝1

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法三：平方后比较大小

∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]

＝loga(1－x2)·loga＝·lg(1－x2)·lg

∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1

∴lg(1－x2)＜0，lg＜0

∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)

即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|

＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)

∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1

∴loga(1－x2)＜0，   ∴－loga(1－x2)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0

∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|

［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.

解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.

当a2－1≠0时，其充要条件是：

            解得a＜－1或a＞

又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.

所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（，+∞）

［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小

解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）

f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(x).

①当x＞1时，若x＞1，则x＞，这时f(x)＞g(x).

若x＜1，则1＜x＜，这时f(x)＜g(x)

②当0＜x＜1时，0＜x＜1，logxx＞0，这时f(x)＞g(x)

故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（，+∞）时，f(x)＞g(x)

当x∈（1，）时，f(x)＜g(x)

［例6］解方程：2(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]

解：原方程可化为

(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]

∴9x－1－5＝4(3x－1－2)        即9x－1－4·3x－1+3＝0

∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0      ∴3x－1＝1或3x－1＝3

∴x＝1或x＝2              经检验x＝1是增根

∴x＝2是原方程的根.

［例7］解方程log2（2-x－1）(2-x+1－2)＝－2

解：原方程可化为：

log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2

即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2

令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0

解之得t＝－2或t＝1

∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1

解之得：x＝－log2或x＝－log23