高中数学苏教版必修22.3空间直角坐标系教学设计

2.3.1  空间直角坐标系

教学目标

（1）通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；

（2）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；

（3）感受类比思想在探索新知识过程中的作用．

教学重点

在空间直角坐标系中，确定点的坐标．

教学难点

建立空间坐标系，并写出相应的点的坐标．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

在日常生活中，常常需要确定空间物体的位置，根据你的生活经验，讨论下列问题：

如何确定我们教室在学校中的地理位置？在图书室的书架上如何确定某本书的位置？看电影的时候如何寻找自己的座位？那么如何确定吊灯在房间中的位置？

2．问题：

借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，那么能不能仿照直角坐标系的方式用坐标来表示空间上任意一点的位置呢？．

二、学生活动

根据一个房间的示意图，探讨表示电灯位置的方法．

三、建构数学

通过在地面上建立直角坐标系，则地面上任一点的位置只需要两个坐标，就可确定．为了确定不在地面内的物体（如电灯）的位置，需要用到第三个数表示物体离地面的高度，即需要第三个坐标．

   例如，若这个电灯在平面上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置．

1．空间直角坐标系

从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点， 轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面．

2．右手直角坐标系

   在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．

3．空间右手直角坐标系的画法

   通常，将空间直角坐标系画在纸上时，轴与轴、轴与轴均成，而轴垂直于轴．轴和轴的单位长度相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等．

4．空间点的坐标表示

   对于空间任意一点，作点在三条坐标轴上的射影，即经过点作三个平面分别垂直于轴与轴与轴，它们与轴与轴和轴分别交与．点在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序实数对（，，）叫做点的坐标，记为（，，）．

5．在空间直角坐标系中画立体图形时，通常也遵循以下类似原则：已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半．

四、数学运用

1．例题：

例1．在空间直角坐标系中，作出点．

分析：可按下列步骤作出点：

解：所作图如下图所示．

例2． 如上右图，已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．

解  因为，点在坐标原点，即，且分别在轴、轴、轴上，所以它们的坐标分别为．

点分别在平面、平面和平面内，坐标分别为，．

点在三条坐标轴上的射影分别是点，故点的坐标为．

思考：在空间直角坐标系中，轴上的点、坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？

[答案]落在轴上的点的坐标满足：．

     落在坐标平面内的点的坐标满足：．

例3． （1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形；

      （2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．

解（1）取三个点．

  （2）三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在平面的同侧，且到平面的距离相等，所以平面平行于平面，而且平面内的每一个点在轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足．

例4．求点关于平面，平面及原点的对称点．

答案：，和．

说明：一般地，点关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点对称点为．

2．练习：

（1）课本第111页练习1，2，3题 ；

（2） 分别写出在坐标轴、坐标平面上的点（，，）的坐标所满足的条件．

五、回顾小结：

1．空间右手直角坐标系．

2．空间右手直角坐标系的画法．

六、课外作业：

课本第113页第1、2、3、6题．