2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第二章 平面向量2.4.1.2 （苏教版必修4） Word版含解析

1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于________．

解析　·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0.

答案　0

2．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．

解析　cos θ＝

＝＝－，又θ∈[0,2π]．

∴θ＝.

答案　

3．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝________.

解析　因为a－b＝(9,9)，所以|a－b|＝＝9.

答案　9

4．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________.

解析　4(x－5)＋x＝0，∴x＝4

答案　4

5．已知a＝(3，－1)，b＝(1,2)，向量c满足a·c＝7，且b⊥c，则c的坐标是__________．

解析　设c＝(x，y)，则a·c＝3x－y＝7.

b·c＝x＋2y＝0，解得x＝2，y＝－1.

答案　(2，－1)

6．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．

解　由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(2t＋4，t－3)．

∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.

|a＋tb|＝＝，

又|b|＝＝.

∵(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，

∴5t＋5＝××.

即(t＋1)＝.

两边平方整理，得t2＋2t－3＝0.

解得t＝1或t＝－3.

经检验t＝－3是增根，舍去，故t＝1.

7．已知a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则a·(b·c)＝________，(a·b)·c＝________.

解析　b·c＝(－1，－2)·(2,1)

＝－1×2＋(－2)×1＝－4，

a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)；

a·b＝(2,3)·(－1，－2)

＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，

(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．

答案　(－8，－12)　(－16，－8)

8．已知a＝(4,2)，与a垂直的单位向量b＝________.

解析　设b＝(x，y)，则由

得或

答案　或

9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．

解析　依题a＋b＝(－1，－2)．

设c＝(x，y)．而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.

cos θ＝＝＝＝－.又0°≤θ≤180°

∴a与c的夹角为120°.

答案　120°

10．已知向量a＝(2cos θ，2sin θ)，θ∈，b＝(0，－1)，则向量a与b的夹角为________．

解析　∵|a|＝2，|b|＝1

设a与b的夹角为α，则

cos α＝＝＝－sin θ＝cos

∵θ∈

∴－θ∈

答案　－θ

11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.

(1)求证：AB⊥AC；

(2)求点D和向量的坐标；

(3)设∠ABC＝θ，求cos θ.

解　(1)＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)

＝(2，－1)

∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，

∴⊥，即AB⊥AC.

(2)设D点的坐标为(x，y)，

则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，

∵AD⊥BC，∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0①

又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，

∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0②

联立①②，解得x＝，y＝，

故D点坐标为，

∴＝＝.

(3)cos θ＝＝＝.

12．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.

证明　以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．

∴＝(－1,1)，＝(1,1)

∴·＝－1×1＋1×1＝0

∴⊥，即BC⊥AC.

13．(创新拓展)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．

解　设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，

|b|＝ ，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.

(1)因为a与b的夹角为直角，

所以a·b＝0，

所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.

(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0且cos θ≠－1，

即a·b＜0且a与b不反向．

由a·b＜0得1＋2λ＜0，故λ<－，

由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．

所以λ的取值范围为－∞，－.

(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，

即a·b＞0且a，b不同向．

由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.

所以λ的取值范围为－，2∪(2，＋∞).