湘教版必修25.3简单的三角恒等变换当堂达标检测题

5.3　简单的三角恒等变换

双基达标  (限时20分钟)

1．已知sin＝，则sin 2x的值为             (　　)．

A.　　 　 B.　　　  C.　　　  D.

解析　sin 2x＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.

答案　D

2．函数y＝sincos的最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为

(　　)．

A．2π，x＝      B．2π，x＝

C．π，x＝       D．π，x＝

解析　y＝sincos＝sin.故选D.

答案　D

3．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC是      (　　)．

A．直角三角形      B．等边三角形

C．等腰三角形      D．等腰直角三角形

解析　由sin C＝2cos Asin B得，sin(A＋B)＝2cos Asin B，sin Acos B－cos Asin

B＝0，sin(A－B)＝0，得到A＝B.故选C.

答案　C

4．函数y＝cos x＋cosx＋的最大值是________．

解析　∵y＝2cos x＋cos ＝cosx＋，

∴ymax＝.

答案　

5．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期是________．

解析　∵y＝sin4x＋(1－sin2x)＝sin2x(sin2x－1)＋1

∴y＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x

＝1－×

＝cos 4x＋，∴T＝＝.

答案　

6．已知函数f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b(a＞0)的定义域为0，，值域为

[－5，4]，求常数a，b的值．

解　f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b

＝2a·－asin 2x＋b

＝－(asin 2x＋acos 2x)＋a＋b.

＝－2asin2x＋＋a＋b

∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π.

∴－≤sin2x＋≤1.

∵a＞0，∴f(x)max＝2a＋b＝4，f(x)min＝b－a＝－5.

由，∴

综合提高　限时25分钟

7．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是            (　　)．

A．－π，－      B．－，－

C．－，0       D．－，0

解析　f(x)＝2sinx－，f(x)的单调递增区间为

2kπ－，2kπ＋π(k∈Z)，

令k＝0得增区间为－，π，又x∈[－π，0]，

所以所求区间为.

答案　D

8．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)＝       (　　)．

A．－m    B．m    C．－    D.

解析　cos2α－cos2β＝(cos 2α－cos 2β)

＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m，

∴sin(α＋β)sin(α－β)＝－m.

答案　A

9．已知＝2，则cos α－sin α的值为________．

解析　由已知＝2，即＝2，

∴tan ＝.

∴cos α－sin α＝cos2－sin2－2sin cos

＝

＝＝＝－.

答案　－

10．和差化积：1＋sin θ＋cos θ＝________．

解析　1＋sin θ＋cos θ＝(1＋cos θ)＋sin θ

＝2cos2＋2sin ·cos

＝2cos cos ＋sin

＝2cos sin－＋sin

＝4cos ·sin ·cos－

＝2cos ·cos－.

答案　2cos cos－

11．设f(x)＝6cos2 x－sin 2x.

(1)求f(x)的最大值及最小正周期；

(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tan α的值．

解　(1)f(x)＝6·－sin 2x＝3cos 2x－sin 2x＋3

＝2＋3

＝2cos＋3.

故f(x)的最大值为2＋3，最小正周期为π.

(2)由f(α)＝3－2，

∴2cos＋3＝3－2，

∴cos＝－1，

又∵0<α<，

∴<2α＋<π＋，

∴2α＋＝π，解得α＝π，

从而tan ＝tan ＝.

12．(创新拓展)已知A，B，C是△ABC的三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)且m·n＝1

(1)求角A；

(2)若＝－3，求tan C.

解　(1)∵m·n＝1，∴(－1，)·(cos A，sin A)＝1，

即sin A－cos A＝1，

2＝1，sin＝.

∵0＜A＜π，－＜A－＜，

∴A－＝，∴A＝.

(2)由题知＝－3，整理得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0，

∴cos B≠0，∴tan2 B－tan B－2＝0，

∴tan B＝2或tan B＝－1.

而tan B＝－1使cos2 B－sin2 B＝0，应舍去．∴tan B＝2，

故tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－

＝－＝.