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湘教版必修23.1弧度制与任意角课堂教学课件ppt
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这是一份湘教版必修23.1弧度制与任意角课堂教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了圆心角，弧度制，°18′，sinα，cosα，tanα，αα∈R，正弦线，余弦线，正切线等内容，欢迎下载使用。
角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 旋转开始时的射线OA叫做角的________,旋转终止时的射线OB叫做角的________,按________时针方向旋转所形成的角叫做正角,按________时针方向旋转所形成的角叫做负角. 若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个________角.
2. 象限角 把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
{α|k·360°<α
{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
{α|α=k·360°-90°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z}
{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,即为象限界角(或轴线角).
4. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合___________________或______________________________,前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
S={β|β=α+2kπ,k∈Z}
注意:(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. (2)一般地,终边相同的角或通式表达形式不唯一,如α=k·180°+90°(k∈Z)与 β=k·180°-90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角. (3)应注意整数k为奇数､偶数的讨论.
5. 弧度制 (1)把长度等于________长的弧所对的________叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做________,它的单位符号是rad,读作________. (2)一般地,正角的弧度数是一个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是________.
6. 度与弧度的换算关系 ∵周角的 为1度的角 即 周角=1°,12π周角=1rad ∴360°=________rad ∴180°=________rad,1°=________rad,1rad=________≈________.
7. 扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为圆心角 弧长l=________,即弧长等于________________________.扇形面积S= l·R=________.
该弧所对的圆心角的弧度数乘以半
8. 在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做α的________,记作________,即sinα=y; (2)x叫做α的________,记作________,即csα=x; (3) 叫做α的________,记作________,即 tanα= (x≠0).
9. 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直角坐标系中任意大小的角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离是r(r>0),那么任意角的三角函数的定义: 三角函数定义定义域 注意:要特别注意三角函数的定义域.
{α|α∈R}且α≠kπ+ ,k∈Z}
10. 各象限角的三角函数值和符号如图所示 三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦.
11. 终边相同的角的同一三角函数的值________,即 sin(α+k·2π)=________ cs(α+k·2π)=________ (其中k∈Z) tan(α+k·2π)=________
12. 三角函数线 图中有向线段MP,OM,AT分别表示________､________和________.
注意:当角α的终边与x轴重合时,正弦线､正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.
已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题:①A=B=C,②AC,③CA,④A∩C=B,其中正确命题的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( ) A. B. - C. D. -
3. 若扇形的面积为 ,半径为1,则扇形的圆心角α为( )
4. 有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等; (2)终边不同的角的同名三角函数的值不等; (3)若sinα>0,则α是第一､二象限的角; (4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则csα . 其中正确的命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确;
5. 若sinα<0且tanα>0,则α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析:∵sinα<0,∴α是第三､四象限的角或角的终边在y轴负半轴上.又∵tanα>0,∴α是第一､三象限的角.∴α是第三象限的角.
类型一:角的集合表示 解题准备: (1)任意角β都可以表示成β=α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z). (2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍. (4)注意“第一象限角”､“锐角”､“小于90°的角”是范围不同的三类角,需加以区别.
典例1 (1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何处?
(1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成
类型二:扇形弧长､面积公式应用 解题准备:
典例2 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r. (1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
类型三:三角函数的定义 解题准备: (1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表达r时要注意分类讨论思想的应用. 典例3已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα､csα､tanα的值.
分析：根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.
(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. (2)熟记几组常用的勾股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解题带来很多方便. (3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角α的三角函数值也都是确定的.
类型四:求函数的定义域 解题准备: 确定三角函数的定义域的依据:(1)正､余弦函数和正､余切函数的定义域;(2)若函数是分式函数,则分母不能为零;(3)若函数是偶次根式函数,则被开方式非负;(4)若函数是形如y=lgaf(x)=(a>0,且a≠1)的函数,则其定义域由f(x)>0确定;(5)当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义.
典例4 求下列函数的定义域:
求定义域的问题,其实质是解不等式,当不等式中含有三角函数时,可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.
误区一:忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 典例1用集合表示终边在阴影部分的角α的集合.
评析：利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点值相差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差值.
误区二:利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而致错
典例2 已知sinα≥0,csα≥0,试确定α终边的位置.
错解：由sinα≥0知,α终边在第一象限,或第二象限,或y轴的非负半轴上; 又由csα≥0知,α终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负半轴上. 故α终边在第一象限.
剖析：错解的解答中由sinα≥0和csα≥0确定α终边位置时,分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误.
正解：由sinα≥0知,α终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y轴的非负半轴上; 由csα≥0知α终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非负半轴上. 故α终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上.
根据近几年三角部分的命题特点,学习本单元应采用以下策略. (1)复习本讲,可以从三个方面入手.一方面是三角函数的定义与符号的应用;第二方面是“弧度制”与“角度制”表示角的集合;第三方面是单位圆中三角函数线的应用.对于三角函数的定义与符号,是三角函数中最基本､最重要的知识,是今后研究三角函数公式､图象､性质的基础,应在理解的基础上准确记忆;对于“弧度制”与“角度制”下角的表示形式,应熟练掌握它们间的相互转换;对于单位圆中的三角函数线,应准确应用,它是画三角函数图象及诱导公式推导的重要知识,同时也为我
们运用数形结合思想解决三角不等式问题提供了重要的理论依据.
(2)涉及本讲的高考题多为选择题､填空题且难度不大,因此复习时重点复习基础知识､基本概念,深刻理解其中蕴含的数学思想和教学方法.
(3)解决三角问题,应注意以下三种数学思想的应用. ①构造思想:主要指构造单位圆,借助单位圆中的三角函数线直观地解决问题. ②分类讨论思想:分类讨论思想要注意“起点”的寻求与“层次”的划分,做到“起点”讨论合理､自然,“层次”划分明确､清晰. ③函数与方程的思想:主要是指在弧度制下研究扇形的弧长及面积问题时,常将某一量设为变量,建立函数关系式,运用函数的性质分析问题､解决问题.
典例 已知∠α的始边与x轴正向重合(顶点在原点),终边过点(3k,-4k)(k≠0),则tanα=________,sinα=________.
一､选择题 1. (基础题,易)若csθ>0,且sinθ<0,则角θ的终边所在象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. (易错题,易)集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z};N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则有( ) A. M=N B. NM C. MN D. M∩N=∅
6. (能力题,中)α是第四象限角,则下列函数值一定是负值的是( )
二､填空题 7. (基础题,易)已知0≤α≤2π,点P(sinα-csα,tanα)在第一象限,则α的取值范围是________.
9. (能力题,中)如果x,y∈,且满足| sinx|=2csy-2,则x=________,y=________.
三､解答题 10. (基础题,易)角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求
解:设P､Q第一次相遇时所用的时间是t,
12. (经典题,中)已知下列命题:
试以其中若干(一个或多个)命题为条件,然后以剩余命题中的若干命题为结论,组成新命题,并证明之,至少组出两个新命题.
解:以(1)(2)为条件,以(3)为结论. 证明:因为θ是第二象限角,
角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 旋转开始时的射线OA叫做角的________,旋转终止时的射线OB叫做角的________,按________时针方向旋转所形成的角叫做正角,按________时针方向旋转所形成的角叫做负角. 若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个________角.
2. 象限角 把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
{α|k·360°<α
{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
{α|α=k·360°-90°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z}
{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,即为象限界角(或轴线角).
4. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合___________________或______________________________,前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
S={β|β=α+2kπ,k∈Z}
注意:(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. (2)一般地,终边相同的角或通式表达形式不唯一,如α=k·180°+90°(k∈Z)与 β=k·180°-90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角. (3)应注意整数k为奇数､偶数的讨论.
5. 弧度制 (1)把长度等于________长的弧所对的________叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做________,它的单位符号是rad,读作________. (2)一般地,正角的弧度数是一个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是________.
6. 度与弧度的换算关系 ∵周角的 为1度的角 即 周角=1°,12π周角=1rad ∴360°=________rad ∴180°=________rad,1°=________rad,1rad=________≈________.
7. 扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为圆心角 弧长l=________,即弧长等于________________________.扇形面积S= l·R=________.
该弧所对的圆心角的弧度数乘以半
8. 在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做α的________,记作________,即sinα=y; (2)x叫做α的________,记作________,即csα=x; (3) 叫做α的________,记作________,即 tanα= (x≠0).
9. 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直角坐标系中任意大小的角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离是r(r>0),那么任意角的三角函数的定义: 三角函数定义定义域 注意:要特别注意三角函数的定义域.
{α|α∈R}且α≠kπ+ ,k∈Z}
10. 各象限角的三角函数值和符号如图所示 三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦.
11. 终边相同的角的同一三角函数的值________,即 sin(α+k·2π)=________ cs(α+k·2π)=________ (其中k∈Z) tan(α+k·2π)=________
12. 三角函数线 图中有向线段MP,OM,AT分别表示________､________和________.
注意:当角α的终边与x轴重合时,正弦线､正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.
已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题:①A=B=C,②AC,③CA,④A∩C=B,其中正确命题的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( ) A. B. - C. D. -
3. 若扇形的面积为 ,半径为1,则扇形的圆心角α为( )
4. 有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等; (2)终边不同的角的同名三角函数的值不等; (3)若sinα>0,则α是第一､二象限的角; (4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则csα . 其中正确的命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确;
5. 若sinα<0且tanα>0,则α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析:∵sinα<0,∴α是第三､四象限的角或角的终边在y轴负半轴上.又∵tanα>0,∴α是第一､三象限的角.∴α是第三象限的角.
类型一:角的集合表示 解题准备: (1)任意角β都可以表示成β=α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z). (2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍. (4)注意“第一象限角”､“锐角”､“小于90°的角”是范围不同的三类角,需加以区别.
典例1 (1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何处?
(1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成
类型二:扇形弧长､面积公式应用 解题准备:
典例2 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r. (1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
类型三:三角函数的定义 解题准备: (1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表达r时要注意分类讨论思想的应用. 典例3已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα､csα､tanα的值.
分析：根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.
(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. (2)熟记几组常用的勾股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解题带来很多方便. (3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角α的三角函数值也都是确定的.
类型四:求函数的定义域 解题准备: 确定三角函数的定义域的依据:(1)正､余弦函数和正､余切函数的定义域;(2)若函数是分式函数,则分母不能为零;(3)若函数是偶次根式函数,则被开方式非负;(4)若函数是形如y=lgaf(x)=(a>0,且a≠1)的函数,则其定义域由f(x)>0确定;(5)当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义.
典例4 求下列函数的定义域:
求定义域的问题,其实质是解不等式,当不等式中含有三角函数时,可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解.
误区一:忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 典例1用集合表示终边在阴影部分的角α的集合.
评析：利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点值相差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差值.
误区二:利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而致错
典例2 已知sinα≥0,csα≥0,试确定α终边的位置.
错解：由sinα≥0知,α终边在第一象限,或第二象限,或y轴的非负半轴上; 又由csα≥0知,α终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负半轴上. 故α终边在第一象限.
剖析：错解的解答中由sinα≥0和csα≥0确定α终边位置时,分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误.
正解：由sinα≥0知,α终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y轴的非负半轴上; 由csα≥0知α终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非负半轴上. 故α终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上.
根据近几年三角部分的命题特点,学习本单元应采用以下策略. (1)复习本讲,可以从三个方面入手.一方面是三角函数的定义与符号的应用;第二方面是“弧度制”与“角度制”表示角的集合;第三方面是单位圆中三角函数线的应用.对于三角函数的定义与符号,是三角函数中最基本､最重要的知识,是今后研究三角函数公式､图象､性质的基础,应在理解的基础上准确记忆;对于“弧度制”与“角度制”下角的表示形式,应熟练掌握它们间的相互转换;对于单位圆中的三角函数线,应准确应用,它是画三角函数图象及诱导公式推导的重要知识,同时也为我
们运用数形结合思想解决三角不等式问题提供了重要的理论依据.
(2)涉及本讲的高考题多为选择题､填空题且难度不大,因此复习时重点复习基础知识､基本概念,深刻理解其中蕴含的数学思想和教学方法.
(3)解决三角问题,应注意以下三种数学思想的应用. ①构造思想:主要指构造单位圆,借助单位圆中的三角函数线直观地解决问题. ②分类讨论思想:分类讨论思想要注意“起点”的寻求与“层次”的划分,做到“起点”讨论合理､自然,“层次”划分明确､清晰. ③函数与方程的思想:主要是指在弧度制下研究扇形的弧长及面积问题时,常将某一量设为变量,建立函数关系式,运用函数的性质分析问题､解决问题.
典例 已知∠α的始边与x轴正向重合(顶点在原点),终边过点(3k,-4k)(k≠0),则tanα=________,sinα=________.
一､选择题 1. (基础题,易)若csθ>0,且sinθ<0,则角θ的终边所在象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. (易错题,易)集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z};N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则有( ) A. M=N B. NM C. MN D. M∩N=∅
6. (能力题,中)α是第四象限角,则下列函数值一定是负值的是( )
二､填空题 7. (基础题,易)已知0≤α≤2π,点P(sinα-csα,tanα)在第一象限,则α的取值范围是________.
9. (能力题,中)如果x,y∈,且满足| sinx|=2csy-2,则x=________,y=________.
三､解答题 10. (基础题,易)角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求
解:设P､Q第一次相遇时所用的时间是t,
12. (经典题,中)已知下列命题:
试以其中若干(一个或多个)命题为条件,然后以剩余命题中的若干命题为结论,组成新命题,并证明之,至少组出两个新命题.
解:以(1)(2)为条件,以(3)为结论. 证明:因为θ是第二象限角,
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