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人教版九年级（上）期末数学试卷2
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这是一份人教版九年级（上）期末数学试卷2，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级（上）期末数学试卷2
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣ C．﹣2021 D．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．等腰三角形 D．平行四边形
3．（3分）长沙市一年约产生垃圾重量为2555000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．2555×103 B．2.555×107 C．0.2555×107 D．2.555×106
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
5．（3分）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱柱 D．正方体
6．（3分）不等式﹣2x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
8．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF D．∠C＝∠F
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝2，则BD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝18，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝，则点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
16．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：BD＝2：3，则△BEF的面积为 ．
三、解答题（第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24、25题每小题6分）
17．（6分）计算：|﹣2|+（2021﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+2）÷，其中x＝﹣2．
19．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
21．（9分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中3男2女表现最为优秀，现从5人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
22．（9分）如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
23．（10分）2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如表：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
8
10
B型货车的辆数（单位：辆）
4
25
累计运输物资的吨数（单位：吨）
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y＝﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y＝﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣ C．﹣2021 D．
【解答】解：﹣的倒数是：﹣2021．
故选：C．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．等腰三角形 D．平行四边形
【解答】解：A、线段既是中心对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）长沙市一年约产生垃圾重量为2555000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．2555×103 B．2.555×107 C．0.2555×107 D．2.555×106
【解答】解：2555000＝2.555×106，
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
【解答】解：A、2a4+3a4＝5a4，故A不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，故B不符合题意；
C、5a2•4a2＝20a4，故C不符合题意；
D、a2•a3＝a5，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱柱 D．正方体
【解答】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）不等式﹣2x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式﹣2x+5≥1，
移项得：﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
7．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
【解答】解：由题意得，∠4＝60°，
∵∠2＝70°，AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
8．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF D．∠C＝∠F
【解答】解：A．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB⊥AC，DE⊥DF，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵AB＝DE，BC＝EF，
∴符合判定两直角三角形全等的条件HL，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝2，则BD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝2，
∴CD+2CD＝2，
∴CD＝，
∴DB＝，
故选：B．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝经过第二、四象限，故选项D正确，选项C错误，
故选：D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：方法1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD＝，
设DE＝x，
由勾股定理得（）2﹣x2＝（2）2﹣（+x）2，
解得x＝，
∴在Rt△BED中，BE＝＝＝．
方法2：三角形ABC的面积＝×AC×BC＝×2×2＝2，
∵D是AB中点，
∴△BCD的面积＝△ABC面积×＝，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴CD＝，
∴BE＝×2÷2×2÷＝．
故选：A．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝18，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝，则点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【解答】解：根据对称性，作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，
∵点E、F将对称轴AC三等份，且AC＝18，
∴EC＝12，CF＝6，
∵点Q与点F关于BC对称，
∴CF＝CQ＝6，∠ACB＝∠BCQ＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
∴EQ＝＝，
∴在线段BC上存在点M使得EQ＝为PE+PF的最小值，即为EQ≤PE+PF，
当点P运动至点C时，PE+PF＝18，
∴当点P在CM之间时，＜PE+PF＜18，
故在CM上存在一个P点，使得PE+PF＝；
当点P运动至点B时，由图可知，BE＝BF，△BOE为直角三角形，OE＝3，OB＝9，
∴PE＝BE＝＝3，
∴PE+PF＝BE+BF＝6；
∴当点P在BM之间时，
＜PE+PF＜6，
故在BM上存在一个P点，使得PE+PF＝，
∴在线段BC上的存在两个点，使得PE+PF＝；
同理可得，在AB、CD、DA上也都存在两个点，使得PE+PF＝；
∴点P在正方形ABCD上运动时，共有8个点，使得PE+PF＝；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ab（b﹣2）2 ．
【解答】解：ab3﹣4ab2+4ab
＝ab(b2﹣4b+4)
＝ab（b﹣2）2．
故答案为：ab（b﹣2）2．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜0.5 ．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴1﹣2x＞0，
解得：x＜0.5．
故答案为x＜0.5．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝ 2 ．
【解答】解：如图，⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴正方形CEOF为正方形，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，
解得：r＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：BD＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥OA于点M．
在矩形OABC中，
AB⊥OA，OC＝AB，BC＝OA，
∴DM∥AB，
∴△ODM∽△OBA，
∴OD：OB＝DM：AB＝OM：OA．
设点D坐标为（2m，2n），其中m，n均为正数，
∴OM＝2m，DM＝2n．
∵点D在双曲线y＝上，
∴4mn＝4，则mn＝1．
∵OD：BD＝2：3，
∴OD：OB＝2：5．
DM：AB＝OM：OA＝2：5．
∴OA＝5m，AB＝5n．
∴A（5m，0），B（5m，5n）．
∵点B在双曲线上，
∴5m×5n＝k＝25．
∵E，F在双曲线双曲线y＝上，
∴E（5m，），F（，5n）．
∴AE＝，CF＝．
∴BF＝BC﹣CF＝OA﹣CF
＝．
BE＝AB﹣AE
＝．
∴．
故答案为：．
三、解答题（第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24、25题每小题6分）
17．（6分）计算：|﹣2|+（2021﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣2．
【解答】解：原式＝2﹣+1+2×﹣9
＝2﹣+1+﹣9
＝﹣6．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+2）÷，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝•
＝﹣（x+2）
＝﹣x﹣2，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣+2﹣2＝﹣．
19．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝．
故答案为：．
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝，
∴EF＝2OE＝3；
（2）四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
21．（9分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中3男2女表现最为优秀，现从5人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生数是：13÷26%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12，
所以恰好选中一男一女的概率是＝．
22．（9分）如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAD＝∠EBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EBC，
∴BE＝CE．
（2）解：如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OB，
由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知，EF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∵BC＝4，tan∠EAB＝，
∴BF＝2，tan∠EAB＝＝，
∴EF＝，
设⊙O的半径的半径为r，
∴OE＝OB＝r，OF＝﹣r，
∴OF2+BF2＝OB2，即（﹣r）2+22＝r2，
解得，r＝．
23．（10分）2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如表：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
8
10
B型货车的辆数（单位：辆）
4
25
累计运输物资的吨数（单位：吨）
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【解答】解：（1）设A种型货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意得：，
解得：．
答：A种型货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型货车每辆满载能运12吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意得：10×6+12m≥262.4，
解得：m≥16，
又∵m为整数，
∴m的最小值为17．
答：至少还需联系17辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 P1P2∥P3P4 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 P3 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝2，
∴tan∠NMO＝，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM•sin60°＝，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM＝﹣1＝，
当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．
由题意A′H＝，AH＝+＝3，
∴AA′的最大值＝＝，
∴≤d2≤．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y＝﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y＝﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），D（1，1）
把D（1，1）代入y＝﹣x2+mx+1中，得到1＝﹣+m+1，
∴m＝．
（2）∵抛物线G1的对称轴x＝﹣＝m，
∴AE＝ED＝2m，
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，
∴AD＝BC＝4m，AB＝CD＝2，
∴L＝8m+4．
（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，
∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，
∴m2﹣1＝1，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴L＝8×2+4＝20．
（4）G1的顶点（m，m2+1），G1过点（2，2m﹣1），G2顶点（﹣m，m2﹣1），G2过点（﹣4，4m﹣9）．
①当m≤2，最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，
若m2+1＝，解得m＝1或﹣1（舍弃），
若m2+1＝9时，m＝4或﹣4（舍弃），
又∵m≤2，
观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，
②当2＜m≤4时，当M（﹣m，m2﹣1）是最高点，则m2﹣1＞2m﹣1，
解得m＞4，与条件矛盾，
此时（2，2m﹣1）是最高点，
∴，
解得2＜m≤4，
③当m＞4时，若（2，2m﹣1）是最高点，则2m﹣1＞4m﹣9，
解得m＜4与条件矛盾．
∴此时（﹣4，4m﹣9）是最高点，≤4m﹣9≤9，
解得4＜m≤，
综上所述，1≤m≤，
∴12≤L≤40．
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日期：2021/12/10 21:06:20；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.com；学号：38915552
九年级（上）期末数学试卷2
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣ C．﹣2021 D．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．等腰三角形 D．平行四边形
3．（3分）长沙市一年约产生垃圾重量为2555000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．2555×103 B．2.555×107 C．0.2555×107 D．2.555×106
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
5．（3分）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱柱 D．正方体
6．（3分）不等式﹣2x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
8．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF D．∠C＝∠F
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝2，则BD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝18，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝，则点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
16．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：BD＝2：3，则△BEF的面积为 ．
三、解答题（第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24、25题每小题6分）
17．（6分）计算：|﹣2|+（2021﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+2）÷，其中x＝﹣2．
19．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
21．（9分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中3男2女表现最为优秀，现从5人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
22．（9分）如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
23．（10分）2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如表：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
8
10
B型货车的辆数（单位：辆）
4
25
累计运输物资的吨数（单位：吨）
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y＝﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y＝﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣ C．﹣2021 D．
【解答】解：﹣的倒数是：﹣2021．
故选：C．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．等腰三角形 D．平行四边形
【解答】解：A、线段既是中心对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）长沙市一年约产生垃圾重量为2555000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．2555×103 B．2.555×107 C．0.2555×107 D．2.555×106
【解答】解：2555000＝2.555×106，
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
【解答】解：A、2a4+3a4＝5a4，故A不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，故B不符合题意；
C、5a2•4a2＝20a4，故C不符合题意；
D、a2•a3＝a5，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱柱 D．正方体
【解答】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）不等式﹣2x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式﹣2x+5≥1，
移项得：﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
7．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．40°
【解答】解：由题意得，∠4＝60°，
∵∠2＝70°，AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
8．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF D．∠C＝∠F
【解答】解：A．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB⊥AC，DE⊥DF，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵AB＝DE，BC＝EF，
∴符合判定两直角三角形全等的条件HL，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝2，则BD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝2，
∴CD+2CD＝2，
∴CD＝，
∴DB＝，
故选：B．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝经过第二、四象限，故选项D正确，选项C错误，
故选：D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：方法1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD＝，
设DE＝x，
由勾股定理得（）2﹣x2＝（2）2﹣（+x）2，
解得x＝，
∴在Rt△BED中，BE＝＝＝．
方法2：三角形ABC的面积＝×AC×BC＝×2×2＝2，
∵D是AB中点，
∴△BCD的面积＝△ABC面积×＝，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴CD＝，
∴BE＝×2÷2×2÷＝．
故选：A．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝18，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝，则点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【解答】解：根据对称性，作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，
∵点E、F将对称轴AC三等份，且AC＝18，
∴EC＝12，CF＝6，
∵点Q与点F关于BC对称，
∴CF＝CQ＝6，∠ACB＝∠BCQ＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
∴EQ＝＝，
∴在线段BC上存在点M使得EQ＝为PE+PF的最小值，即为EQ≤PE+PF，
当点P运动至点C时，PE+PF＝18，
∴当点P在CM之间时，＜PE+PF＜18，
故在CM上存在一个P点，使得PE+PF＝；
当点P运动至点B时，由图可知，BE＝BF，△BOE为直角三角形，OE＝3，OB＝9，
∴PE＝BE＝＝3，
∴PE+PF＝BE+BF＝6；
∴当点P在BM之间时，
＜PE+PF＜6，
故在BM上存在一个P点，使得PE+PF＝，
∴在线段BC上的存在两个点，使得PE+PF＝；
同理可得，在AB、CD、DA上也都存在两个点，使得PE+PF＝；
∴点P在正方形ABCD上运动时，共有8个点，使得PE+PF＝；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ab（b﹣2）2 ．
【解答】解：ab3﹣4ab2+4ab
＝ab(b2﹣4b+4)
＝ab（b﹣2）2．
故答案为：ab（b﹣2）2．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜0.5 ．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴1﹣2x＞0，
解得：x＜0.5．
故答案为x＜0.5．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝ 2 ．
【解答】解：如图，⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴正方形CEOF为正方形，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，
解得：r＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：BD＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥OA于点M．
在矩形OABC中，
AB⊥OA，OC＝AB，BC＝OA，
∴DM∥AB，
∴△ODM∽△OBA，
∴OD：OB＝DM：AB＝OM：OA．
设点D坐标为（2m，2n），其中m，n均为正数，
∴OM＝2m，DM＝2n．
∵点D在双曲线y＝上，
∴4mn＝4，则mn＝1．
∵OD：BD＝2：3，
∴OD：OB＝2：5．
DM：AB＝OM：OA＝2：5．
∴OA＝5m，AB＝5n．
∴A（5m，0），B（5m，5n）．
∵点B在双曲线上，
∴5m×5n＝k＝25．
∵E，F在双曲线双曲线y＝上，
∴E（5m，），F（，5n）．
∴AE＝，CF＝．
∴BF＝BC﹣CF＝OA﹣CF
＝．
BE＝AB﹣AE
＝．
∴．
故答案为：．
三、解答题（第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24、25题每小题6分）
17．（6分）计算：|﹣2|+（2021﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣2．
【解答】解：原式＝2﹣+1+2×﹣9
＝2﹣+1+﹣9
＝﹣6．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+2）÷，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝•
＝﹣（x+2）
＝﹣x﹣2，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣+2﹣2＝﹣．
19．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝．
故答案为：．
20．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE＝，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝，
∴EF＝2OE＝3；
（2）四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
21．（9分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中3男2女表现最为优秀，现从5人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生数是：13÷26%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12，
所以恰好选中一男一女的概率是＝．
22．（9分）如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BC＝4，tan∠EAB＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAD＝∠EBC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EBC，
∴BE＝CE．
（2）解：如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OB，
由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知，EF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∵BC＝4，tan∠EAB＝，
∴BF＝2，tan∠EAB＝＝，
∴EF＝，
设⊙O的半径的半径为r，
∴OE＝OB＝r，OF＝﹣r，
∴OF2+BF2＝OB2，即（﹣r）2+22＝r2，
解得，r＝．
23．（10分）2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如表：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
8
10
B型货车的辆数（单位：辆）
4
25
累计运输物资的吨数（单位：吨）
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【解答】解：（1）设A种型货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意得：，
解得：．
答：A种型货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型货车每辆满载能运12吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意得：10×6+12m≥262.4，
解得：m≥16，
又∵m为整数，
∴m的最小值为17．
答：至少还需联系17辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 P1P2∥P3P4 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 P3 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝2，
∴tan∠NMO＝，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM•sin60°＝，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM＝﹣1＝，
当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．
由题意A′H＝，AH＝+＝3，
∴AA′的最大值＝＝，
∴≤d2≤．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y＝﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y＝﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．
【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），D（1，1）
把D（1，1）代入y＝﹣x2+mx+1中，得到1＝﹣+m+1，
∴m＝．
（2）∵抛物线G1的对称轴x＝﹣＝m，
∴AE＝ED＝2m，
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，
∴AD＝BC＝4m，AB＝CD＝2，
∴L＝8m+4．
（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，
∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，
∴m2﹣1＝1，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴L＝8×2+4＝20．
（4）G1的顶点（m，m2+1），G1过点（2，2m﹣1），G2顶点（﹣m，m2﹣1），G2过点（﹣4，4m﹣9）．
①当m≤2，最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，
若m2+1＝，解得m＝1或﹣1（舍弃），
若m2+1＝9时，m＝4或﹣4（舍弃），
又∵m≤2，
观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，
②当2＜m≤4时，当M（﹣m，m2﹣1）是最高点，则m2﹣1＞2m﹣1，
解得m＞4，与条件矛盾，
此时（2，2m﹣1）是最高点，
∴，
解得2＜m≤4，
③当m＞4时，若（2，2m﹣1）是最高点，则2m﹣1＞4m﹣9，
解得m＜4与条件矛盾．
∴此时（﹣4，4m﹣9）是最高点，≤4m﹣9≤9，
解得4＜m≤，
综上所述，1≤m≤，
∴12≤L≤40．
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日期：2021/12/10 21:06:20；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.com；学号：38915552
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