2020-2021九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021九年级（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了四象限，则k的取值范围是等内容，欢迎下载使用。


1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A.任意一个五边形的外角和等于540∘
B.投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C.367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日
D.正月十五雪打灯

2. 下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A.圆B.菱形C.矩形D.等边三角形

3. 要得到抛物线y＝2(x−4)2−1，可以将抛物线y＝2x2( )
A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

4. 在平面直角坐标系中，以点(2, 3)为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A.与x轴相离，与y轴相切B.与x轴，y轴都相离
C.与x轴相切，与y轴相离D.与x轴，y轴都相切

5. 在如图的四个转盘中，C，D转盘被分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A.B.C.D.

6. 若双曲线y=k−1x位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A.k<1B.k≥1C.k>1D.k≠1

7. 如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）

A.＝B.＝C.AC2＝AD⋅ABD.＝

8. 如图，圆心角为90∘的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB，若AC=2，则阴影部分的面积为（ ）

A.π−1B.π−2C.π−2D.π

9. 如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝8，AC＝6，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）

A.B.3C.D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x−1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝(k>0, x>0)，y2＝(x<0)的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积是△DOB的面积的2倍，则k的值是（ ）

A.6B.12C.2D.4
二.填空题（每题3分，共18分.请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）

某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为5×103m2．所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）的函数关系式为________＝ ．

已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是________．

赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝________米．


已知实数满足a2−6a+4=0，b2−6b+4=0，且a≠b，则ba+ab的值是________．

如图，在△ABC中，DE // BC，AD＝2cm，DB＝1cm，BC＝12cm，则DE＝ 8 cm．


如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30∘，则线段PM的最大值是________．

三.解答题（本题有9个小题，共72分）

解方程：x2−4x+1=0．

如图所示，在边长为1的正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），把△ABC绕点A按逆时针方向旋转90∘，在网格中画出旋转后的△AB1C1，并求出点C经过的路径长．


某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
(1)如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为________；

(2)如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kx经过▱ABCD的顶点B，D．点D的坐标为(2, 1)，点A在y轴上，且AD // x轴，S▱ABCD=5．
（1）填空：点A的坐标为________；

（2）求双曲线和AB所在直线的解析式．

已知关于x的一元二次方程x2−(a−3)x−a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
1直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．

2设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

3某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？

在等腰△ABC中，∠BAC＝90∘，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135∘，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F．

（1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；

（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

（3）若BC＝2+，当∠CDF＝15∘时，请直接写出线段CF的长度．

如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(3, 0)，B(−1, 0)两点，与y轴相交于点C(0, −3)

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1.
【答案】
C
【考点】
随机事件
【解析】
直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案．
【解答】
A、任意一个五边形的外角和等于540∘，故此选项不合题意；
B、投掷一个均匀的硬币100次，是随机事件；
C、367个同学参加一个聚会，是必然事件；
D、正月十五雪打灯，故此选项不合题意．
2.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【解答】
解：圆、菱形、矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】
∵ y＝2(x−4)3−1的顶点坐标为(4, −3)2的顶点坐标为(0, 7)，
∴ 将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位​2−5．
4.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
坐标与图形性质
【解析】
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
【解答】
解：∵ 是以点(2, 3)为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴ 这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
几何概率
【解析】
分别求出阴影部分面积占整个圆面积的百分比，比较即可．
【解答】
让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率分别是34，23，12，58，
则指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是A．
6.
【答案】
A
【考点】
反比例函数的性质
【解析】
由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出k−1<0，然后解这个不等式就可以求出k的取值范围．
【解答】
解：∵ 双曲线y=k−1x位于第二、四象限，
∴ k−1<0，
∴ k<1．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【解答】
∵ △ABC∽△ACD，
∴ ＝，＝，，
∴ AC2＝AD⋅AB，
∴ A、B、C成立；
D错误，符合题意，
8.
【答案】
A
【考点】
扇形面积的计算
求阴影部分的面积
【解析】
已知BC为直径，则∠CDB=90∘，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】
解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，
∵ BC是半圆的直径，
∴ ∠CDB=90∘.
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=2，
∴ D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB−S△ADC=14π×22−12×(2)2=π−1．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
相似三角形的性质与判定
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
如图，过点P作PH⊥BC于H．首先证明AP＝PH，设PA＝PH＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】
如图，过点P作PH⊥BC于H．
∵ ＝，
∴ ∠ACD＝∠BCD，
∵ BC是直径，
∴ ∠BAC＝90∘，
∴ PA⊥AC，
∵ PH⊥BC，
∴ PA＝PH，
在Rt△PCA和Rt△PCH中，
，
∴ Rt△PCA≅Rt△PCH(HL)，
∴ AC＝CH＝6，
∵ BC＝＝＝10，
∴ BH＝4，
设PA＝PH＝x，则PB＝8−x，
在Rt△PBH中，∵ PB2＝PH2+BH3，
∴ (8−x)2＝x4+42，
解得x＝3，
∴ PA＝3，
∴ CP＝＝＝3，
10.
【答案】
B
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
求出直线y＝x−1与y轴的交点B的坐标和直线y＝x−1与y2＝(x<0)的交点D的坐标，再由△COE的面积与△DOB的面积相等，列出k的方程，便可求得k的值．
【解答】
令x＝0，得y＝，
∴ B(0, −1)，
∴ OB＝7，
把y＝x−5代入y2＝(x<2)得，(x<0)，
解得，x＝1−，
∴ xD＝1−，
∴ S△OBD＝OB⋅|xD|＝-，
∵ CE⊥x轴，
∴ S△OCE＝，
∵ △COE的面积是△DOB的面积的7倍，
∴ 2（-）＝k，
∴ k＝12，或k＝0（舍去）．
经检验，k＝12是原方程的解．
二.填空题（每题3分，共18分.请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
【答案】
n
【考点】
科学记数法--表示较大的数
函数关系式
【解析】
根据“总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数”可得出关系式．
【解答】
由总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数可得，
n＝＝，
【答案】
180∘
【考点】
圆锥的计算
【解析】
易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【解答】
解：∵ 圆锥底面半径是3，
∴ 圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n∘，
nπ×6180=6π，
解得n=180．
故答案为：180∘．
【答案】
50
【考点】
垂径定理
【解析】
根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】
根据垂径定理，得AD＝．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R3＝202+(R−10)2，
解得R＝25（米），
∴ ⊙O的直径为50米．
【答案】
7
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据题意可知a、b是一元二次方程x2−6x+4=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得a+b=6，ab=4，再将ba+ab变形为(a+b)2−2abab，代入计算即可．
【解答】
解：∵ a2−6a+4=0，b2−6b+4=0，且a≠b，
∴ a、b是一元二次方程x2−6x+4=0的两个不相等的实数根，
∴ a+b=6，ab=4，
∴ ba+ab=(a+b)2−2abab=36−84=7．
故答案为7．
【答案】
5
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE＝∠ABC，
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ AD＝2cm，DB＝1cm，
∴ ，
∴ DE＝8(cm)，
【答案】
3
【考点】
旋转的性质
【解析】
连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．
【解答】
如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵ ∠A＝30∘，BC＝2，
∴ AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴ A′P＝PB′，
∴ PC=12A′B′＝2，
∵ CM＝BM＝1，
又∵ PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴ PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
三.解答题（本题有9个小题，共72分）
【答案】
解：x2−4x+1=0，
x2−4x+4=3，
(x−2)2=3，
x−2=±3，
∴ x1=2+3，x2=2−3.
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
根据配方法可以解答此方程．
【解答】
解：x2−4x+1=0，
x2−4x+4=3，
(x−2)2=3，
x−2=±3，
∴ x1=2+3，x2=2−3.
【答案】
如图，△AB1C1即为所作，
AC＝＝5，
点C经过的路径长＝＝π．
【考点】
轨迹
作图-旋转变换
【解析】
利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1，接着利用勾股定理计算出AC，然后根据弧长公式计算点C经过的路径长．
【解答】
如图，△AB1C1即为所作，
AC＝＝5，
点C经过的路径长＝＝π．
【答案】
12
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
即两次摸到红球的概率=212=16.
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
(1)直接利用概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)从布袋中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，
其中是红球的情况有2种，故摸出是红球的概率=24=12.
故答案为：12.
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
即两次摸到红球的概率=212=16.
【答案】
(0, 1)
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
反比例函数系数k的几何意义
待定系数法求反比例函数解析式
平行四边形的性质
【解析】
（1）由D的坐标以及点A在y轴上，且AD // x轴即可求得；
（2）由平行四边形的面积求得AE的长，即可求得OE的长，得到B的纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．
【解答】
∵ 点D的坐标为(2, 1)，点A在y轴上，且AD // x轴，
∴ A(0, 1)；
故答案为(0, 1)；
∵ 双曲线y=kx经过点D(2, 1)，
∴ k=2×1=2，
∴ 双曲线为y=2x，
∵ D(2, 1)，AD // x轴，
∴ AD=2，
∵ S▱ABCD=5，
∴ AE=52，
∴ OE=32，
∴ B点纵坐标为−32，
把y=−32代入y=2x得，−32=2x，解得x=−43，
∴ B(−43, −32)，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
代入A(0, 1)，B(−43, −32)得：b=1−43a+b=−32 ，
解得a=158b=1 ，
∴ AB所在直线的解析式为y=158x+1．
【答案】
证明：∵ △＝[−(a−3)]2−5(−a)＝a2−2a+7＝(a−1)2+5>0，
∴ 无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
设方程的两根分别为m、n，
∴ m+n＝a−3，mn＝−a，
∴ m3+n2＝(m+n)2−5mn＝(a−3)2+2a，
由题意可得(a−3)2+6a＝21，
解得a＝6或a＝−2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）计算方程的判别式，判断其符号即可；
（2）利用根与系数的关系，用a分别表示出两根和与两根积，结合条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【解答】
证明：∵ △＝[−(a−3)]2−5(−a)＝a2−2a+7＝(a−1)2+5>0，
∴ 无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
设方程的两根分别为m、n，
∴ m+n＝a−3，mn＝−a，
∴ m3+n2＝(m+n)2−5mn＝(a−3)2+2a，
由题意可得(a−3)2+6a＝21，
解得a＝6或a＝−2．
【答案】
证明：连结OD，∵ ∠ACB＝90∘，
∴ ∠A+∠B＝90∘，
又∵ OD＝OB，
∴ ∠B＝∠BDO，
∵ ∠ADE＝∠A，
∴ ∠ADE+∠BDO＝90∘，
∴ ∠ODE＝90∘．
∴ DE是⊙O的切线；
连结CD，∵ ∠ADE＝∠A，
∴ AE＝DE．
∵ BC是⊙O的直径，∠ACB＝90∘．
∴ EC是⊙O的切线．
∴ DE＝EC．
∴ AE＝EC，
又∵ DE＝10，
∴ AC＝2DE＝20，
在Rt△ADC中，DC=202−162=12
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，
在Rt△ABC中，BC2＝(x+16)2−202，
∴ x2+122＝(x+16)2−202，解得x＝9，
∴ BC=122+92=15．
【考点】
圆周角定理
切线的判定与性质
【解析】
（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90∘，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝BE，推出∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，即可求出∠ODE＝90∘，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中，DC＝12，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，在Rt△ABC中，BC2＝(x+16)2−202，可得x2+122＝(x+16)2−202，解方程即可解决问题；．
【解答】
证明：连结OD，∵ ∠ACB＝90∘，
∴ ∠A+∠B＝90∘，
又∵ OD＝OB，
∴ ∠B＝∠BDO，
∵ ∠ADE＝∠A，
∴ ∠ADE+∠BDO＝90∘，
∴ ∠ODE＝90∘．
∴ DE是⊙O的切线；
连结CD，∵ ∠ADE＝∠A，
∴ AE＝DE．
∵ BC是⊙O的直径，∠ACB＝90∘．
∴ EC是⊙O的切线．
∴ DE＝EC．
∴ AE＝EC，
又∵ DE＝10，
∴ AC＝2DE＝20，
在Rt△ADC中，DC=202−162=12
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，
在Rt△ABC中，BC2＝(x+16)2−202，
∴ x2+122＝(x+16)2−202，解得x＝9，
∴ BC=122+92=15．
【答案】
解：1根据题意，得：y=50−x，（0≤x≤50，且x为整数）；
2W=(120+10x−20)(50−x)
=−10x2+400x+5000
=−10(x−20)2+9000，
∵ a=−10<0，
∴ 当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
3由−10(x−20)2+9000≥500020(−x+50)≤600，
解得20≤x≤40,
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y=2(−x+50)=20（人）．
【考点】
根据实际问题列一次函数关系式
二次函数的应用
一元一次不等式组的应用
【解析】
（1）根据每天游客居住的房间数量等于50−减少的房间数即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）根据条件列出不等式组即可解决问题．
【解答】
解：1根据题意，得：y=50−x，（0≤x≤50，且x为整数）；
2W=(120+10x−20)(50−x)
=−10x2+400x+5000
=−10(x−20)2+9000，
∵ a=−10<0，
∴ 当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
3由−10(x−20)2+9000≥500020(−x+50)≤600，
解得20≤x≤40,
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y=2(−x+50)=20（人）．
【答案】
结论：AE+CF＝AD．
理由：如图1中，作DH⊥BC于H．
∵ AB＝AC，∠A＝90∘，
∴ ∠ABC＝∠C＝45∘，
∵ ∠A＝∠DHB＝90∘，
∴ ∠ADH＝360∘−90∘−90∘−45∘＝135∘，
∵ ∠EDF＝135∘，
∴ ∠ADH＝∠EDF，
∴ ∠ADE＝∠HDF，
∵ BD平分∠ABC，DA⊥AB，
∴ DA＝DH，
∴ △DAE≅△DHF(ASA)，
∴ AE＝HF，
∵ ∠C＝∠HDC＝45∘，
∴ DH＝CH＝AD，
∴ AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD．
不成立应为CF−AE＝AD．
理由如下：如图②中，作DG⊥BC于点G，
∵ ∠BAC＝90∘，
∴ DA⊥BA，
∵ AC平分∠ABC，
∴ DA＝DG，
∵ AB＝AC，∠BAC＝90∘，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝45∘，
∴ ∠ADG＝360∘−90∘−90∘−45∘＝135∘，
∵ ∠MDN＝135∘，
∴ ∠ADE＝∠GDF＝135∘−∠ADF，
又∵ ∠DAE＝∠DGF＝90∘，
∴ △DAE≅△DGF(ASA)，
∴ AE＝FG，
∵ ∠DCG＝45∘，∠DGC＝90∘，
∴ ∠DCG＝∠GDC＝45∘，
∴ GC＝DG＝AD，
∵ FC−FG＝GC，
∴ FC−AE＝AD．
①如图③−1中，作DH⊥BC于H．
由（1）可知：DA＝DH＝CH，设DA＝DH＝HC＝aa，AB＝AC＝BH＝a+a，
∴ 2a+a＝2+，
∴ a＝2，
∴ AD＝1，
∵ ∠CDF＝15∘，
∴ ∠ADE＝180∘−135∘−15∘＝30∘，
∴ AE＝，
∵ AE+CF＝AD，
∴ CF＝1−
②如图③−2中，当∠CDF＝15∘时，
∵ AD＝DH＝CH＝1，∠CFD＝30∘，
∴ FH＝DH＝，
∴ CF＝FH−CH＝−6
综上所述，满足条件的CF的值为或．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）结论：AE+CF＝AD．如图1中，作DH⊥BC于H．证明△DAE≅△DHF(ASA)，即可解决问题．
（2）结论不成立．应为 CF−AE＝AD．如图②中，作DG⊥BC于点G，证明△DAE≅E△DGF(ASA)，即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解：①如图③−1中，作DH⊥BC于H．求出AD＝DH＝CH＝1，利用（1）中结论即可解决问题．②如图③−2中，当∠CDF＝15∘时，作DH⊥BC于H，求出FH＝即可解决问题．
【解答】
结论：AE+CF＝AD．
理由：如图1中，作DH⊥BC于H．
∵ AB＝AC，∠A＝90∘，
∴ ∠ABC＝∠C＝45∘，
∵ ∠A＝∠DHB＝90∘，
∴ ∠ADH＝360∘−90∘−90∘−45∘＝135∘，
∵ ∠EDF＝135∘，
∴ ∠ADH＝∠EDF，
∴ ∠ADE＝∠HDF，
∵ BD平分∠ABC，DA⊥AB，
∴ DA＝DH，
∴ △DAE≅△DHF(ASA)，
∴ AE＝HF，
∵ ∠C＝∠HDC＝45∘，
∴ DH＝CH＝AD，
∴ AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD．
不成立应为CF−AE＝AD．
理由如下：如图②中，作DG⊥BC于点G，
∵ ∠BAC＝90∘，
∴ DA⊥BA，
∵ AC平分∠ABC，
∴ DA＝DG，
∵ AB＝AC，∠BAC＝90∘，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝45∘，
∴ ∠ADG＝360∘−90∘−90∘−45∘＝135∘，
∵ ∠MDN＝135∘，
∴ ∠ADE＝∠GDF＝135∘−∠ADF，
又∵ ∠DAE＝∠DGF＝90∘，
∴ △DAE≅△DGF(ASA)，
∴ AE＝FG，
∵ ∠DCG＝45∘，∠DGC＝90∘，
∴ ∠DCG＝∠GDC＝45∘，
∴ GC＝DG＝AD，
∵ FC−FG＝GC，
∴ FC−AE＝AD．
①如图③−1中，作DH⊥BC于H．
由（1）可知：DA＝DH＝CH，设DA＝DH＝HC＝aa，AB＝AC＝BH＝a+a，
∴ 2a+a＝2+，
∴ a＝2，
∴ AD＝1，
∵ ∠CDF＝15∘，
∴ ∠ADE＝180∘−135∘−15∘＝30∘，
∴ AE＝，
∵ AE+CF＝AD，
∴ CF＝1−
②如图③−2中，当∠CDF＝15∘时，
∵ AD＝DH＝CH＝1，∠CFD＝30∘，
∴ FH＝DH＝，
∴ CF＝FH−CH＝−6
综上所述，满足条件的CF的值为或．
【答案】
设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x−3)，
把C(0, −3)代入得−3a＝−3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝(x+1)(x−3)，
即y＝x2−2x−3；
抛物线的对称轴为直线x＝1，
设E(t, t2−2t−3)，
当0∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(1−t)＝−(t2−2t−3)，
整理得t2−4t−1＝0，解得t1＝2+5（舍去），t2＝2−5（舍去）；
当1∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(t−1)＝−(t2−2t−3)，
整理得t2−5＝0，解得t1=5，t2=−5（舍去），
此时正方形EFGH的边长为25−2；
当t>3时，EF＝2(t−1)，EH＝t2−2t−3，
∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(t−1)＝t2−2t−3，
整理得t2−4t−1＝0，解得t1＝2+5，t2＝2−5（舍去），
此时正方形EFGH的边长为25+2，
综上所述，正方形EFGH的边长为25−2或25+2；
设P(x, x2−2x−3)，
当−1∵ S△ABC=12×4×3＝6，
∴ 0∴ △PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，此时△PAC有5个；
当0易得直线AC的解析式为y＝x−3，则M(x, x−3)，
∴ PM＝x−3−(x2−2x−3)＝−x2+3x，
∴ S△APC=12⋅3⋅(−x2+3x)
=−32x2+92x
=−32(x−32)2+278，
当x=32时，S△APC的面积的最大值为278，即0∴ △PAC面积为整数时，它的值为1、2、3，此时△PAC有6个
综上所述，△PAC有11个．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）设交点式为y＝a(x+1)(x−3)，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）设E(t, t2−2t−3)，讨论：当03时，2(t−1)＝t2−2t−3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；
（3）设P(x, x2−2x−3)，讨论：当−1【解答】
设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x−3)，
把C(0, −3)代入得−3a＝−3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝(x+1)(x−3)，
即y＝x2−2x−3；
抛物线的对称轴为直线x＝1，
设E(t, t2−2t−3)，
当0∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(1−t)＝−(t2−2t−3)，
整理得t2−4t−1＝0，解得t1＝2+5（舍去），t2＝2−5（舍去）；
当1∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(t−1)＝−(t2−2t−3)，
整理得t2−5＝0，解得t1=5，t2=−5（舍去），
此时正方形EFGH的边长为25−2；
当t>3时，EF＝2(t−1)，EH＝t2−2t−3，
∵ 矩形EFGH为正方形，
∴ EF＝EH，即2(t−1)＝t2−2t−3，
整理得t2−4t−1＝0，解得t1＝2+5，t2＝2−5（舍去），
此时正方形EFGH的边长为25+2，
综上所述，正方形EFGH的边长为25−2或25+2；
设P(x, x2−2x−3)，
当−1∵ S△ABC=12×4×3＝6，
∴ 0∴ △PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，此时△PAC有5个；
当0易得直线AC的解析式为y＝x−3，则M(x, x−3)，
∴ PM＝x−3−(x2−2x−3)＝−x2+3x，
∴ S△APC=12⋅3⋅(−x2+3x)
=−32x2+92x
=−32(x−32)2+278，
当x=32时，S△APC的面积的最大值为278，即0∴ △PAC面积为整数时，它的值为1、2、3，此时△PAC有6个
综上所述，△PAC有11个．