人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试示范课ppt课件

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试示范课ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了热点一，分类讨论思想，图27-1，图27-2，∠ABC，跟踪训练，图27-3，∴∠BAD＝∠C，热点二，相似三角形的判定等内容，欢迎下载使用。

在相似三角形中，当不确定图形或不清楚图中有多少个对应相似的三角形时，解决三角形相似问题就需要分不同的情况讨论．一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
【例 1】 如图 27－1 ，在△ABC 中，∠ACB>∠ABC.(1)若∠BAC 是锐角，请探索在直线 AB 上有多少个点 D，
能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?
(2)请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数．
思路点拨：(1)分点 D 在线段 AB 上、点 D 在线段 AB 的延长线上和点 D 在线段 AB 的反向延长线上三种情况讨论．(2)再分∠BAC 为直角和钝角两种情况讨论，并且对每种情
况按照(1)的方法进行分类讨论．解：(1)①若点 D 在线段 AB 上，
由 于 ∠ACB>∠ABC ， 可 以 作 一 个 点 D 满 足 ∠ACD ＝
使得△ACD∽△ABC.
②如图 27-2(1)，若点 D 在线段 AB 的延长线上，则∠ACD>∠ACB>∠ABC，与条件矛盾．因此，这样的点 D 不存在．
③如图 27-2(2)，若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，由于
∠BAC 是锐角，则∠BAC<90°<∠CAD，
不可能有△ACD∽△ABC.因此，这样的点 D 不存在．
综上所述，这样的点 D 有一个．
(2)①当∠BAC 为直角时，仿照(1)的方法，易求得在线段AB 和 线 段 AB 的 反 向 延 长 线 上 各 有 一 个 点 D ， 使 得△ACD∽△ABC，即这样的点 D 有两个．
②当∠BAC 为钝角时，仿照(2)的方法，易求得只有线段
AB 上有一个这样的点 D.
分类讨论思想是一种很重要的数学思想方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的(如：有理数的概念)；②求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例)；③数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果．[如：函数 y＝mx2＋(m－1)x＋2 中有参变量 m]应用分类讨论，往往能使复杂问题简单化，解题思路清晰，步骤明了．
1．如图 27-3 所示，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，点 D在 AB 边上，且 AD＝4，在 AC 上取一点 P，使以 A，P，D 为顶点的三角形与△ABC 相似．求 AP 的长．
2．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA 的度数．解：(1)当高 AD 在△ABC 内时，如图 D65(1)所示，图 D65
又∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ADB∽△CDA.
∵∠CAD＋∠C＝90°.
∴∠CAD＋∠BAD＝90°.
又∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.
(2)当高 AD在△ABC 外时，如图 D65(2)所示，同理可得△ADB∽△CDA，∴∠B＝∠CAD.又∠B＝25°，∴∠ACD＝90°－∠CAD＝65°.∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.故∠BCA 的度数是 65°或 115°.
判定两三角形相似的常用方法有四种，运用时要根据题目的条件选择恰当的方法，其思路是：1．先找两角对应相等；2．若只有一角对应相等，再找夹这个角的两边的比是否相等；3．若无角相等，就找三组对应边的比是否相等；4．若出现平行线，直接考虑两三角形相似．
【例 2】 已知：正方形的边长为 1.(1)如图 27-4，可以算出一个正方形的对角线的长是 ，求两个正方形并排成的矩形的对角线的长，猜想 n 个正方形并排成的矩形的对角线的长；(2)如图 27-5，求证：△BCE∽△BED.
思路点拨：本题很难一眼看出比值，需动手计算后再做出判断．
【跟踪训练】3．已知如图 27-6(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中 AB，CD 交于 O 点，对于各图中
的两个三角形而言，下列说法正确的是(图 27-6
A．都相似C．只有(1)相似
B．都不相似D．只有(2)相似
4．如图 27-7，已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与 a，b，c分别交于点 A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则
5．(2012 年广东梅州)如图 27-8，AC 是⊙O 的直径，弦 BD
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果 AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD.∴∠AED＝∠ADC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即有∠AED＝90°. ∴直径AC⊥BD.∴CD＝CB.
相似三角形的性质和应用
相似三角形的性质可总结归纳为：(1)相似三角形对应边成比例，对应角相等；(2)相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
【例 3】 已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G, E是直径 AB 上一点(不与点 A，B，G 重合)，直线 DE 的延长线交⊙O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.如图 27-9，试证明：OE·OP＝OF2.
证明：连接 FO 并延长交⊙O 于点 Q，连接 DQ.如图 27-10.∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.
【跟踪训练】6．如图 27-11，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′
的周长的比值是________．
7．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图 27-12 所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底 B8.4 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE＝2.4 米，观察者目高 CD＝1.6 米，则树 AB 的高度为_____米．
(2)如图 D68，分别过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E，D，图 D68