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数学第四章 图形的相似综合与测试教案
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这是一份数学第四章 图形的相似综合与测试教案，共40页。教案主要包含了1.两条线段的比的概念，随堂练习，课时小结，课后作业，学生练习，小结，作业等内容，欢迎下载使用。
4.1成比例线段
教学目标：
1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..
2.知道成比例线段的定义.
3.熟记比例的性质并会应用.
教学重点：
会求两条线段的比； 成比例线段的定义.
比例的性质
教学难点
会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一；比例的基本性质
教学方法
自主探索法
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.
［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等.
［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.
Ⅱ.新课讲解
1.两条线段的比的概念
［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？
［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.
［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.
［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
［生］对.
［师］大家同意他的观点吗？
［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？
［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，则=k，或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2.比例线段的概念
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
3.比例的性质
（1）如果（b,d都不为0），那么ad=bc.
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.
（2）如果=…=（b+d+…+n≠0）那么
例题（1）如图，已知=3,求和;
（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？
4.想一想
（1）如果,那么成立吗？为什么？
（2）如果,那么成立吗？为什么？
（3）如果,那么成立吗？为什么.
Ⅲ.课堂练习
1.已知=3,求和, =成立吗？
2.已知==2,求（b+d+f≠0）
Ⅳ.课时小结
掌握比例的性质，并能灵活运用.
Ⅴ.课后作业
完成习题4.1及习题4.2
Ⅵ.活动与探究
1.已知：==2（b+d+f≠0）求：（1）;（2）;
（3）;（4）.
2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.
（1）求a,b,c （2）求4a－3b+c的值.
●板书设计
§4.1 成比例线段
一、1.两条线段的比的概念
2.成比例线段的定义
3.线段的比和比例线段的区别和联系
4.比例的性质
二、随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
1.已知=3,求和, =成立吗？
2.已知==2,求（b+d+f≠0）
4．2平行线分线段成比例
一、教学目标
1．知识目标：
①了解平行线分线段成比例定理
②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题
2．能力目标：
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
（1）什么叫比例线段？ （2）比例的基本性质？
2.引入新课 做一做
在图3-6中，小方格的边长均为1，直线l1 ∥ l2∥ l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.
图3-6
（1）计算 的值，你有什么发现？
（2）将向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与的交点分别为 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其它位置呢？
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
3.分组讨论，得出结论
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.想一想
（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
得出结论：（推论）
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
5. 例题学习
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？
（2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，
且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB
6.课时小结
1、平行线分线段成比例定理：
(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
7.课后作业
习题4.3 知识技能 第1，2题
课 题
4.3 相似多边形
备 课
日 期
教 法
洋思+诱思、合作交流
授 课
日 期
学 法
观察、操作、交流、探究
教 具
多媒体
教
学
目
标
（1）知识与技能：使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
（2）过程与方法：经历相似多边形概念的形成过程，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力.
（3）情感与能力:经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
重 点
理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件.
难 点
利用定义判断两个多边形是否相似.
板
书
设
计
课 题
定义
例题讲解
课堂练习
教 后
反 思
这个年龄阶段的学生有很强的好奇心，并且有较强的观察能力，因而教学过程中尽可能多给学生表现的机会，激发学生探究意识。
教 学 过 程
一、创设问题情境，导入新课：
1.下面请同学们观察下面两个多边形: 计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗? 学生回答后,教师: 这样的两个多边形叫做什么多边形？
2. 引入课题：相似多边形
二、归纳定义及运用
（学生根据观察和体验的过程，归纳定义，提高语言表达能力）
1.合作探究:
在图3-11中的两个多边形中,是否有对应相等的内角?设法验证你的猜测.
在图3-11中的两个多边形中,夹相等内角的两边是否成比例?
(同桌一人测角,一人测边,共同得出结论:这种形状相同的多边形各对应角相等、各对应边成比例.然后尝试给相似多边形下一个定义.)
2. 获得新知:(自读课本,时间3分钟,然后回答老师提出的问题:①多边形相似需满足几个条件?②相似多边形的记法有什么要求?③什么叫相似比?求相似比要注意什么?)
3.议一议:
(1)观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？图（2）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么启发？与同桌交流.
12
10
10
12
图（1）
正方形
菱形
10
10
8
12
图（2）
正方形
矩形
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
(通过对两个典型范例的分析,加深对相似多边形的本质特征的理解.让学生充分发表看法，然后老师总结。)
4.巩固新知:（巩固相似多边形的定义这一最基本的判断方法。）
例 下列每组图形是相似多边形吗？试说明理由。
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
５．想一想——反过来会怎样？
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
（老师总结：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质.）
６.做一做
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
（让学生独立作出判断，并说明理由．通过这个易出错的例子,使学生认识到直观有时是不可靠的，需要通过定义的两个条件进行判断．）
三、课堂小结
通过这节课的学习你有什么收获？
（学生自由回答，培养学生的语言表达力）
学生归纳总结：相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角。相似比有顺序要求
四、能力评估
1.下面两个矩形相似，则它们对应边的比是_____
4
2
2如图,两个正八边形的边长分别为a和b,它们相似吗?为什么?
3.如图,矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周外围有1m宽的环形小路.小路内外边缘的矩形相似吗?
五、作业布置：习题4.4第1.2.3题
4.4.1探索三角形相似的条件（一）
教学目的：
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2.使学生掌握相似三角形判定定理1．
3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．
教学重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度．
教学难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学过程：
一、讨论相似三角形的定义
请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．
二、 给出定义
1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知△ABC∽△A’B’C’.
2. 板书定义．叫学生写在笔记本上．
三、合作学习：
合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？
合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，
∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.
四、导入定理
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．
例：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=.
∴BC= = =14.
五、学生练习：
1. 讨论随堂练习第1题
有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
2.自己独立完成随堂练习第2题
六、小结
本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．
七、作业：习题4.5
4.4.2探索三角形相似的条件（二）
教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用．
教学重点： 判定定理2和3
教学难点： 判定定理的应用
教学过程：
一、 复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1的证明的方法．
二、 新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AAS 和ASA对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS和SSS对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
1. （1）画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′，和都等于给定的值k.设法比较 ∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小）、△ABC与△A′B′C′相似吗？
（2）改变k值的大小，再试一试.
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2. 画△ABC与△A′B′C′，使、和都等于给定的值k.
（1）设法比较∠A与∠A′的大小；
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.
改变k值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
解：∵AE=1.5，AC=2， ∴=，
∵=， ∴=.
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴==.
∵BC=3， ∴DE= BC=×3=.
例2：如图，在△ABC和△ADE中，== ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵== ，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三：巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．
五、作业：习题4.7
4.4.3 探索三角形相似的条件——黄金分割
教学目标
（一）教学知识点：1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求：通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求：理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重点：了解黄金分割的意义，并能运用.
教学难点：找黄金分割点和画黄金矩形.
教学方法：讲解法
教具准备：投影片一张：（记作§4.4 A）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以.
1.黄金分割的定义
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
2. 计算黄金比.
解：由= ，得∴AC2=AB·BC.
设AB=1,AC=x,则BC=1- x.
∴x2=1×（1－x） ∴x2+ x －1=0
解这个方程，得
x1=或x2=（不合题意，舍去），
所以，黄金比=≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x） ∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正 ∴AC=≈0.618
∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
古希腊时期的巴台农神庙.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅳ.课后作业：习题4.8
Ⅴ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
§4.4探索三角形相似的条件—— 黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、课时小节
三、课后作业
4.5相似三角形判定定理的证明
一、教学目标
1．知识目标：①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理
2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
相似三角形的判定方法有哪些？
（1）两角对应相等，两三角形相似.
（2）三边对应成比例,两三角形相似.
（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
2.探究学习，得出新知
探究1
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
如何证明呢？
应用1
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
探究2
如果∠B =∠B1 ，
那么，△ABC∽△A1B1C1.
应用2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长.
探究3
探究3：如果
那么，△ABC∽△A′B′C′.
应用3 画一画
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.
4.课时小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似.
2.三边对应成比例,两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
5.课后作业
习题4.9 知识技能 第2，3题
4.6 利用相似三角形测高
教学目标
（一）教学知识点
1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.
2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.
（二）能力训练要求
1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.
2.提高综合运用知识的能力.
（三）情感与价值观要求
在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
教学重点
1.测量旗杆高度的数学依据.
2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.
教学难点
1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.
2.方法3中镜子的适当调节.
教学方法
1.分组活动.
2.交流研讨作报告.
工具准备
小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.
教具准备
投影片一:（记作§4.6 A）
投影片二:（记作§4.6 B）
投影片三:（记作§4.6 C）
投影片四:调查数据表.（记作§4.6 D）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引出课题
今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.
（两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.）
Ⅱ.新课讲解
［师］外边阳光明媚,天公作美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.
甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A）
图①
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.
乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B）
图②
如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE ， DG=AB
由得GC=.
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
［同学A］我认为还可以这样做.
过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明
△DHF∽△FMC
∴由 可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.
乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A的做法.这样可以减少运算量.
［师］请丙组同学出代表讲解.
图③
［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C）
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=.
［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.
［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？
2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.
（出示投影片§4.6 D）
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.
1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功.
2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.
3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.
4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.
5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.
Ⅲ.课堂练习
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.
图4－37
分析：画出上述示意图，即可发现：
△ABC∽△A′B′C′ 所以=
于是得，BC==16 （m）.
即该建筑物的高度是16 m.
Ⅳ.课时小结
这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.
Ⅴ.课后作业
习题4.10
●板书设计
§4.6 利用相似三角形测高
一、测量原理：相似三角形对应边成比例.
二、三种测量方法的优缺点
三、课堂练习（学生画示意图）
四、小结
4.7.1 相似三角形的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
（二）能力训练要求：1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求：1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
教学重点：1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
教学难点：相似三角形的性质的运用.
教学方法：引导启发式
教具准备：投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A）第二张：（记作§4.7.1 B）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.1 A）
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图①中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
2.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
图②
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解:投影片（§4.7.1 B）
图④
如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？
解：∵ SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC.
∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
即.
当SR=BC时，得，解得DE=h
当SR=BC时，得，解得DE=h
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
Ⅴ.课后作业
完成习题4.11
板书设计
§4.7.1 相似三角形的性质（一）
一、1.做一做
2.议一议
3.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
4.7 相似三角形的性质（二）
教学目标
（一）教学知识点
1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.
2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.
2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.
教学重点：1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.
教学难点：相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
教学方法：引导启发式。通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.
教具准备：投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.
（让学生把数据写在黑板上）
［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.
1.两三角形是否相似.
2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.
（因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.）
［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？（面积比与相似比的平方相等.）
［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.2 A）
在上图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为.
（1）请你写出图中所有成比例的线段.
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流.
2.想一想
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k2.
3.议一议
投影片（§4.7.2 B）.
如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？
△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？
（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是
那么各是多少？
（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？
如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.
由此可知：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅲ.随堂练习
完成教材随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅴ.课后作业：习题4.12
板书设计
§4.7.2 相似三角形的性质（二）
一、1.做一做
2.想一想
3.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
4.8.1图形的位似
教学目标
1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
重点、难点
1．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
一.创设情境
活动1 教师活动：提出问题：
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小
活动2
教师活动：提出问题：
把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
三、课堂练习
活动3 教材习题
四、小结：谈谈你这节课学习的收获．
五、习题4.13第1.2题
4.8.2 图形的位似
教学目标：
1. 了解位似多边形
2. 了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。
3. 能利用位似将一个图形放大或缩小。
教学重点：
位似图形的性质和应用
教学难点：
在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换性质不容易被理解
教学过程：
（一） 情境引入
生活中，见过这样的图形么？（找关于位似变换的图片：书柜，小区里的一牌楼，水花）
这些图片有什么特点？
除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？
学生活动预设：各组图片相似。
（二） 新知讲解
我们以这组四边形为例，来研究一下。
除了相似，还有其他特点么？
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做位似中心。
位似多边形与相似多边形有什么区别和联系？
学生回答预设：这组位似多边形每组对应边所在的直线都经过同一点。
位似多边形是特殊的相似变换.
板演：
果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做位似中心。
位似多边形是特殊的相似变换.
辨一辨：
根据什么？①是否相似？②每组对应边所在的直线是否都经过同一点？
（三） 例题讲解
活动一：
若三角形ABC与三角形的位似比为2，则可得出哪些结论
分析：
还有其他结论么？等于多少？
为什么等于3？根据什么？
你能发现对应点到位似中心的距离之比与位似比之间有什么关系？
你能把你的发现概括成命题的形式吗？
活动二：
如图，已知△ABC和点O。以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的。
分析：
（1） 要确定缩小后的图形，只需确定什么？
（2） 缩小后图形的顶点应分别在怎样的射线上？
（3） 缩小后的图形与原图形到对应顶点到点O的距离之比为多少？根据什么？
（4） 你能做出几个图形？这两个图形在位置上有怎样的关系？
（四） 再探新知
活动三：
如图，请以坐标原点O为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形，并把平行四边形的变长放大3倍。
分析:
(1) 动手在书上完成这个题目。
(2) 做出的位似图形的顶点坐标分别是多少？与原图形的顶点坐标有什么关系？先看第一象限内。第三象限内的呢？为什么一个乘以正3一个乘以-3呢？
(3) 若原图形上点的坐标为（x,y）,像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）。
(4) 这个定理使用的前提条件是什么？
（五） 小结
（六） 作业布置：习题4.14
第四章 图形的相似
回顾与思考
教学目标：
（一）知识与技能：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。
（二）过程与方法：体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
（三）情感与价值观要求：培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。
教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
三、教学过程
第一环节：课前准备，整理知识
学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识的思维导图。
第二环节：回顾交流、形成体系
教师提前掌握学生的思维导图的完成情况，请有代表性的学生投影展示并讲解，其他同学进行点评、补充。对知识内容进行回顾，对学生感觉有一定难度的内容，鼓励学生之间进行交流、讨论，互相补充，然后教师给以适当的帮助。
第三环节：巩固提升
（一）做一做：
1、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长。
2、如果两个相似多边形面积的比为4∶9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比。
第3题 第4题 第5题
4、添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
5、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？
（二）知识源于悟
1、如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。
求：
2、如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3，S △ABC=25，
求S四边形BDEF
（三）试一试：
1、在正方形方格中, △ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上 ，请在图中画一个△A1B1C1 使△ A1B1C1 ∽△ABC（相似比不为1），且点都在单位正方形的顶点上 .
第1题 第2题
2、两块完全相同的等腰三角形放成如图样子，假设图形中的所有点、线、面都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。
3、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将图（2）中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形。
（1） (2)
第3题 第4题 第5题
4、如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______
4、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ ）
（1）AC: CD = AB: BC （2）CD: AD = BC: AC
（3）AC2 = AD · AB （4）CD2 = AD · AB
5、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S △ABC=48，求: S △ADE
选做：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P
从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点
以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，
几秒后△ PBQ与原三角形相似？
第五环节：课堂小结、布置作业
（1）本章的重点讲了什么内容？你通过本章的复习，在知识方面是否能够做到系统化？
（2）本章运用到哪些思维方法？你在运用这些方法分析、解决问题时有没有困难的地方？
（3）在合作学习中，你认为哪些同学数学思维较好？哪些地方值得你学习/
4.1成比例线段
教学目标：
1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..
2.知道成比例线段的定义.
3.熟记比例的性质并会应用.
教学重点：
会求两条线段的比； 成比例线段的定义.
比例的性质
教学难点
会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一；比例的基本性质
教学方法
自主探索法
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.
［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等.
［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.
Ⅱ.新课讲解
1.两条线段的比的概念
［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？
［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.
［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.
［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
［生］对.
［师］大家同意他的观点吗？
［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？
［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，则=k，或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2.比例线段的概念
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
3.比例的性质
（1）如果（b,d都不为0），那么ad=bc.
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.
（2）如果=…=（b+d+…+n≠0）那么
例题（1）如图，已知=3,求和;
（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？
4.想一想
（1）如果,那么成立吗？为什么？
（2）如果,那么成立吗？为什么？
（3）如果,那么成立吗？为什么.
Ⅲ.课堂练习
1.已知=3,求和, =成立吗？
2.已知==2,求（b+d+f≠0）
Ⅳ.课时小结
掌握比例的性质，并能灵活运用.
Ⅴ.课后作业
完成习题4.1及习题4.2
Ⅵ.活动与探究
1.已知：==2（b+d+f≠0）求：（1）;（2）;
（3）;（4）.
2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.
（1）求a,b,c （2）求4a－3b+c的值.
●板书设计
§4.1 成比例线段
一、1.两条线段的比的概念
2.成比例线段的定义
3.线段的比和比例线段的区别和联系
4.比例的性质
二、随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
1.已知=3,求和, =成立吗？
2.已知==2,求（b+d+f≠0）
4．2平行线分线段成比例
一、教学目标
1．知识目标：
①了解平行线分线段成比例定理
②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题
2．能力目标：
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
（1）什么叫比例线段？ （2）比例的基本性质？
2.引入新课 做一做
在图3-6中，小方格的边长均为1，直线l1 ∥ l2∥ l3，分别交直线m，n与格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.
图3-6
（1）计算 的值，你有什么发现？
（2）将向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与的交点分别为 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其它位置呢？
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
3.分组讨论，得出结论
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.想一想
（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
得出结论：（推论）
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
5. 例题学习
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？
（2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，
且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB
6.课时小结
1、平行线分线段成比例定理：
(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
7.课后作业
习题4.3 知识技能 第1，2题
课 题
4.3 相似多边形
备 课
日 期
教 法
洋思+诱思、合作交流
授 课
日 期
学 法
观察、操作、交流、探究
教 具
多媒体
教
学
目
标
（1）知识与技能：使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
（2）过程与方法：经历相似多边形概念的形成过程，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力.
（3）情感与能力:经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
重 点
理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件.
难 点
利用定义判断两个多边形是否相似.
板
书
设
计
课 题
定义
例题讲解
课堂练习
教 后
反 思
这个年龄阶段的学生有很强的好奇心，并且有较强的观察能力，因而教学过程中尽可能多给学生表现的机会，激发学生探究意识。
教 学 过 程
一、创设问题情境，导入新课：
1.下面请同学们观察下面两个多边形: 计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗? 学生回答后,教师: 这样的两个多边形叫做什么多边形？
2. 引入课题：相似多边形
二、归纳定义及运用
（学生根据观察和体验的过程，归纳定义，提高语言表达能力）
1.合作探究:
在图3-11中的两个多边形中,是否有对应相等的内角?设法验证你的猜测.
在图3-11中的两个多边形中,夹相等内角的两边是否成比例?
(同桌一人测角,一人测边,共同得出结论:这种形状相同的多边形各对应角相等、各对应边成比例.然后尝试给相似多边形下一个定义.)
2. 获得新知:(自读课本,时间3分钟,然后回答老师提出的问题:①多边形相似需满足几个条件?②相似多边形的记法有什么要求?③什么叫相似比?求相似比要注意什么?)
3.议一议:
(1)观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？图（2）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么启发？与同桌交流.
12
10
10
12
图（1）
正方形
菱形
10
10
8
12
图（2）
正方形
矩形
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
(通过对两个典型范例的分析,加深对相似多边形的本质特征的理解.让学生充分发表看法，然后老师总结。)
4.巩固新知:（巩固相似多边形的定义这一最基本的判断方法。）
例 下列每组图形是相似多边形吗？试说明理由。
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
５．想一想——反过来会怎样？
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
（老师总结：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质.）
６.做一做
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
（让学生独立作出判断，并说明理由．通过这个易出错的例子,使学生认识到直观有时是不可靠的，需要通过定义的两个条件进行判断．）
三、课堂小结
通过这节课的学习你有什么收获？
（学生自由回答，培养学生的语言表达力）
学生归纳总结：相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角。相似比有顺序要求
四、能力评估
1.下面两个矩形相似，则它们对应边的比是_____
4
2
2如图,两个正八边形的边长分别为a和b,它们相似吗?为什么?
3.如图,矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周外围有1m宽的环形小路.小路内外边缘的矩形相似吗?
五、作业布置：习题4.4第1.2.3题
4.4.1探索三角形相似的条件（一）
教学目的：
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2.使学生掌握相似三角形判定定理1．
3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．
教学重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度．
教学难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学过程：
一、讨论相似三角形的定义
请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．
二、 给出定义
1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知△ABC∽△A’B’C’.
2. 板书定义．叫学生写在笔记本上．
三、合作学习：
合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？
合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，
∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.
四、导入定理
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．
例：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=.
∴BC= = =14.
五、学生练习：
1. 讨论随堂练习第1题
有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
2.自己独立完成随堂练习第2题
六、小结
本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．
七、作业：习题4.5
4.4.2探索三角形相似的条件（二）
教学目的: 使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用．
教学重点： 判定定理2和3
教学难点： 判定定理的应用
教学过程：
一、 复习：
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2.回忆三角形相似判定定理1的证明的方法．
二、 新授
（一）导入新课
三角形全等的判定中AAS 和ASA对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS和SSS对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）
（二） 做一做
1. （1）画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′，和都等于给定的值k.设法比较 ∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小）、△ABC与△A′B′C′相似吗？
（2）改变k值的大小，再试一试.
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2. 画△ABC与△A′B′C′，使、和都等于给定的值k.
（1）设法比较∠A与∠A′的大小；
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.
改变k值的大小，再试一试.
定理3：三边:成比例的两个三角形相似．
（三）例题学习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
解：∵AE=1.5，AC=2， ∴=，
∵=， ∴=.
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴==.
∵BC=3， ∴DE= BC=×3=.
例2：如图，在△ABC和△ADE中，== ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵== ，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
三：巩固练习
四、小结
本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．
五、作业：习题4.7
4.4.3 探索三角形相似的条件——黄金分割
教学目标
（一）教学知识点：1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求：通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求：理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重点：了解黄金分割的意义，并能运用.
教学难点：找黄金分割点和画黄金矩形.
教学方法：讲解法
教具准备：投影片一张：（记作§4.4 A）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以.
1.黄金分割的定义
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
2. 计算黄金比.
解：由= ，得∴AC2=AB·BC.
设AB=1,AC=x,则BC=1- x.
∴x2=1×（1－x） ∴x2+ x －1=0
解这个方程，得
x1=或x2=（不合题意，舍去），
所以，黄金比=≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x） ∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正 ∴AC=≈0.618
∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
古希腊时期的巴台农神庙.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅳ.课后作业：习题4.8
Ⅴ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
§4.4探索三角形相似的条件—— 黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、课时小节
三、课后作业
4.5相似三角形判定定理的证明
一、教学目标
1．知识目标：①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理
2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1.复习提问
相似三角形的判定方法有哪些？
（1）两角对应相等，两三角形相似.
（2）三边对应成比例,两三角形相似.
（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
2.探究学习，得出新知
探究1
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
如何证明呢？
应用1
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
探究2
如果∠B =∠B1 ，
那么，△ABC∽△A1B1C1.
应用2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长.
探究3
探究3：如果
那么，△ABC∽△A′B′C′.
应用3 画一画
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.
4.课时小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似.
2.三边对应成比例,两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
5.课后作业
习题4.9 知识技能 第2，3题
4.6 利用相似三角形测高
教学目标
（一）教学知识点
1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.
2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.
（二）能力训练要求
1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.
2.提高综合运用知识的能力.
（三）情感与价值观要求
在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
教学重点
1.测量旗杆高度的数学依据.
2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.
教学难点
1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.
2.方法3中镜子的适当调节.
教学方法
1.分组活动.
2.交流研讨作报告.
工具准备
小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.
教具准备
投影片一:（记作§4.6 A）
投影片二:（记作§4.6 B）
投影片三:（记作§4.6 C）
投影片四:调查数据表.（记作§4.6 D）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引出课题
今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.
（两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.）
Ⅱ.新课讲解
［师］外边阳光明媚,天公作美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.
甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A）
图①
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.
乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B）
图②
如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE ， DG=AB
由得GC=.
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
［同学A］我认为还可以这样做.
过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明
△DHF∽△FMC
∴由 可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.
乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A的做法.这样可以减少运算量.
［师］请丙组同学出代表讲解.
图③
［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C）
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=.
［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.
［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？
2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.
（出示投影片§4.6 D）
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.
1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功.
2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.
3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.
4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.
5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.
Ⅲ.课堂练习
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.
图4－37
分析：画出上述示意图，即可发现：
△ABC∽△A′B′C′ 所以=
于是得，BC==16 （m）.
即该建筑物的高度是16 m.
Ⅳ.课时小结
这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.
Ⅴ.课后作业
习题4.10
●板书设计
§4.6 利用相似三角形测高
一、测量原理：相似三角形对应边成比例.
二、三种测量方法的优缺点
三、课堂练习（学生画示意图）
四、小结
4.7.1 相似三角形的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
（二）能力训练要求：1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求：1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
教学重点：1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
教学难点：相似三角形的性质的运用.
教学方法：引导启发式
教具准备：投影片两张第一张：（记作§4.7.1 A）第二张：（记作§4.7.1 B）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.1 A）
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图①中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
2.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
图②
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解:投影片（§4.7.1 B）
图④
如图④所示，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？
解：∵ SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC.
∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
即.
当SR=BC时，得，解得DE=h
当SR=BC时，得，解得DE=h
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
Ⅴ.课后作业
完成习题4.11
板书设计
§4.7.1 相似三角形的性质（一）
一、1.做一做
2.议一议
3.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
4.7 相似三角形的性质（二）
教学目标
（一）教学知识点
1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.
2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.
2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.
2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.
教学重点：1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.
教学难点：相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
教学方法：引导启发式。通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.
教具准备：投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.
（让学生把数据写在黑板上）
［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.
1.两三角形是否相似.
2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.
（因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.）
［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？（面积比与相似比的平方相等.）
［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.2 A）
在上图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为.
（1）请你写出图中所有成比例的线段.
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流.
2.想一想
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k2.
3.议一议
投影片（§4.7.2 B）.
如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？
△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？
（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是
那么各是多少？
（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？
如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.
由此可知：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅲ.随堂练习
完成教材随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
Ⅴ.课后作业：习题4.12
板书设计
§4.7.2 相似三角形的性质（二）
一、1.做一做
2.想一想
3.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
4.8.1图形的位似
教学目标
1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
重点、难点
1．重点：位似多边形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
一.创设情境
活动1 教师活动：提出问题：
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个相似多边形每组对应点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 这个点叫做位似中心.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二、利用位似，可以将一个图形放大或缩小
活动2
教师活动：提出问题：
把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
三、课堂练习
活动3 教材习题
四、小结：谈谈你这节课学习的收获．
五、习题4.13第1.2题
4.8.2 图形的位似
教学目标：
1. 了解位似多边形
2. 了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。
3. 能利用位似将一个图形放大或缩小。
教学重点：
位似图形的性质和应用
教学难点：
在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换性质不容易被理解
教学过程：
（一） 情境引入
生活中，见过这样的图形么？（找关于位似变换的图片：书柜，小区里的一牌楼，水花）
这些图片有什么特点？
除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？
学生活动预设：各组图片相似。
（二） 新知讲解
我们以这组四边形为例，来研究一下。
除了相似，还有其他特点么？
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做位似中心。
位似多边形与相似多边形有什么区别和联系？
学生回答预设：这组位似多边形每组对应边所在的直线都经过同一点。
位似多边形是特殊的相似变换.
板演：
果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做位似中心。
位似多边形是特殊的相似变换.
辨一辨：
根据什么？①是否相似？②每组对应边所在的直线是否都经过同一点？
（三） 例题讲解
活动一：
若三角形ABC与三角形的位似比为2，则可得出哪些结论
分析：
还有其他结论么？等于多少？
为什么等于3？根据什么？
你能发现对应点到位似中心的距离之比与位似比之间有什么关系？
你能把你的发现概括成命题的形式吗？
活动二：
如图，已知△ABC和点O。以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的。
分析：
（1） 要确定缩小后的图形，只需确定什么？
（2） 缩小后图形的顶点应分别在怎样的射线上？
（3） 缩小后的图形与原图形到对应顶点到点O的距离之比为多少？根据什么？
（4） 你能做出几个图形？这两个图形在位置上有怎样的关系？
（四） 再探新知
活动三：
如图，请以坐标原点O为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形，并把平行四边形的变长放大3倍。
分析:
(1) 动手在书上完成这个题目。
(2) 做出的位似图形的顶点坐标分别是多少？与原图形的顶点坐标有什么关系？先看第一象限内。第三象限内的呢？为什么一个乘以正3一个乘以-3呢？
(3) 若原图形上点的坐标为（x,y）,像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）。
(4) 这个定理使用的前提条件是什么？
（五） 小结
（六） 作业布置：习题4.14
第四章 图形的相似
回顾与思考
教学目标：
（一）知识与技能：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。
（二）过程与方法：体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
（三）情感与价值观要求：培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。
教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
三、教学过程
第一环节：课前准备，整理知识
学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识的思维导图。
第二环节：回顾交流、形成体系
教师提前掌握学生的思维导图的完成情况，请有代表性的学生投影展示并讲解，其他同学进行点评、补充。对知识内容进行回顾，对学生感觉有一定难度的内容，鼓励学生之间进行交流、讨论，互相补充，然后教师给以适当的帮助。
第三环节：巩固提升
（一）做一做：
1、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长。
2、如果两个相似多边形面积的比为4∶9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比。
第3题 第4题 第5题
4、添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
5、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？
（二）知识源于悟
1、如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。
求：
2、如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3，S △ABC=25，
求S四边形BDEF
（三）试一试：
1、在正方形方格中, △ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上 ，请在图中画一个△A1B1C1 使△ A1B1C1 ∽△ABC（相似比不为1），且点都在单位正方形的顶点上 .
第1题 第2题
2、两块完全相同的等腰三角形放成如图样子，假设图形中的所有点、线、面都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。
3、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将图（2）中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形。
（1） (2)
第3题 第4题 第5题
4、如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______
4、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ ）
（1）AC: CD = AB: BC （2）CD: AD = BC: AC
（3）AC2 = AD · AB （4）CD2 = AD · AB
5、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S △ABC=48，求: S △ADE
选做：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P
从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点
以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，
几秒后△ PBQ与原三角形相似？
第五环节：课堂小结、布置作业
（1）本章的重点讲了什么内容？你通过本章的复习，在知识方面是否能够做到系统化？
（2）本章运用到哪些思维方法？你在运用这些方法分析、解决问题时有没有困难的地方？
（3）在合作学习中，你认为哪些同学数学思维较好？哪些地方值得你学习/
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