2020-2021学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了，给出下列叙述等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1（ ）
A．开口向上，具有最高点B．开口向上，具有最低点
C．开口向下，具有最高点D．开口向下，具有最低点
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一枚硬币，出现正面
B．从2、4、6、8、10这5张卡片中任抽一张是奇数
C．从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球
D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．5 cmB．4 cmC．3 cmD．6 cm
4．（3分）四张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
5．（3分）抛物线y＝（x﹣m）2+n可以由抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则m﹣n值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣1D．1
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．110°
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1
8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣27
9．（3分）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（ ）
A．3B．C．2.5D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），给出下列叙述：
①b2＞8a；
②a﹣b﹣2＜0；
③存在实数k，满足x＜k时，函数y的值都随x的值增大而增大；
④当a﹣b为整数时，ab的值为1；
其中正确的是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为 ．
12．（4分）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
13．（4分）二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 ，最小值是 ．
14．（4分）已知抛物线y＝﹣5（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ．
15．（4分）已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是 ．
16．（4分）已知函数y＝k（x+1）（x﹣），下列说法：①方程k（x+1）（x﹣）＝﹣3必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k＞3时，抛物线顶点在第三象限；④若k＜0，则当x＜﹣1时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是 ．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），若点A（m，s），B（n，t）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较s与t的大小．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
19．（8分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖．
方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品，你会选择哪个方案？请用相关的数学知识说明理由．
20．（10分）如图，一圆弧形钢梁
（1）请用直尺和圆规补全钢梁所在圆；
（2）若钢梁的拱高为8米，跨径为40米，求这钢梁圆弧的半径．
21．（10分）九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示．若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），实心球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号）
22．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点Q，问：△BCQ的最大面积是多少？此时点Q的坐标是多少？
（3）若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标．
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1（ ）
A．开口向上，具有最高点B．开口向上，具有最低点
C．开口向下，具有最高点D．开口向下，具有最低点
【解答】解：
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，当x＝1时，y有最小值，即抛物线有最低点，
故选：B．
2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一枚硬币，出现正面
B．从2、4、6、8、10这5张卡片中任抽一张是奇数
C．从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球
D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3
【解答】解：A、任意抛掷一枚硬币，出现正面是随机事件，故A错误；
B、从2、4、6、8、10这5张卡片中任抽一张是奇数是不可能事件，故B错误；
C、从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球是必然事件，故C正确；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3是随机事件，故D错误；
故选：C．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．5 cmB．4 cmC．3 cmD．6 cm
【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符．
故选：D．
4．（3分）四张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵四张完全相同的卡片中，轴对称图形有圆、等腰三角形、矩形，
∴恰好抽到轴对称图形的概率是；
故选：C．
5．（3分）抛物线y＝（x﹣m）2+n可以由抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则m﹣n值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣1D．1
【解答】解：抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位y＝（x+3）2+2．，所以m＝﹣3，n＝2．
故m﹣n＝﹣5；
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．110°
【解答】解：如图，在优弧AMB上取一点D，连接AD，BD，
则∠ADB＝AOB＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝125°，
故选：C．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣27
【解答】解：由表可知，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴当x＝1和x＝﹣7的函数值相等，
∵当x＝﹣7时，y＝﹣27，
∴x＝1时，y＝﹣27．
故选：D．
9．（3分）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（ ）
A．3B．C．2.5D．2
【解答】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为．
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），给出下列叙述：
①b2＞8a；
②a﹣b﹣2＜0；
③存在实数k，满足x＜k时，函数y的值都随x的值增大而增大；
④当a﹣b为整数时，ab的值为1；
其中正确的是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），
∴抛物线的开口向上可得a＞0，抛物线与x轴有两个交点，a+b﹣2＝0，﹣＞0，
∴b＞0，b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4a×（﹣2）＞0，
∴b2＞﹣8a； 故①错误；
由a+b﹣2＝0，可知：b＝2﹣a，
∵b＞0，
∴0＜a＜2，
∴a﹣b﹣2＝a﹣（2﹣a）﹣2＝2a﹣4＜0，即a﹣b﹣2＜0，故②正确；
当x＜k≤﹣时，函数y的值都随x的增大而减小，当x＞≥k时，函数y的值都随x的值增大而增大；故③错误；
由a+b﹣2＝0，可知：b＝2﹣a，
∵b＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2＝﹣1，0，1，
故a＝，1，，
b＝，1，，
∴ab＝或1，故④错误．
故选：B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为 ．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个人同坐2号车的只有1种情况，
∴两个人同坐2号车的概率为：．
故答案为：．
12．（4分）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：连接OA，OB
∵∠C＝45°
∴∠AOB＝90°
又∵OA＝OB，AB＝4
∴OA＝2．
13．（4分）二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 35 ，最小值是 3 ．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
∵a＝2＞0，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在﹣3≤x≤4内，x＝1时，y有最小值，x＝﹣3时y有最大值，分别是y＝2﹣4+5＝3和y＝2×9﹣4×（﹣3）+5＝35．
故答案为：35，3．
14．（4分）已知抛物线y＝﹣5（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 m≥﹣1 ．
【解答】解：∵y＝﹣5（x+m）2﹣3，
∴对称轴为x＝﹣m，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴﹣m≤1，解得m≥﹣1，
故答案为：m≥﹣1．
15．（4分）已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是 1或7cm ．
【解答】解：（1）如图①，过O作OF⊥AB于F交CD于E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD；
由垂径定理得AF＝FB＝AB＝3，CE＝DE＝CD＝4，
∴OF＝＝4，OE＝＝3，
∴EF＝OF﹣OE＝1cm；
（2）过O作OF⊥AB于F，OE⊥CD于E，连接AO，CO，
同理可得OF＝4cm，OE＝3cm，
当AB，CD在圆心O的两侧时，
EF＝OF+OE＝7（cm），
∴AB与CD的距离为7cm或1cm．
16．（4分）已知函数y＝k（x+1）（x﹣），下列说法：①方程k（x+1）（x﹣）＝﹣3必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k＞3时，抛物线顶点在第三象限；④若k＜0，则当x＜﹣1时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是 ①③ ．
【解答】解：函数y＝k（x+1）（x﹣）的图象与x轴交于（﹣1，0）（，0），
①方程k（x+1）（x﹣）＝﹣3，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴①正确；
②∵函数y＝k（x+1）（x﹣）的图象与x轴交于（﹣1，0），（，0），
∴移动函数图象使其经过原点，则将图象向右移动1个单位或移动﹣单位，
∴②错误，
③当k＞3时，＜1，
∴对称轴在y轴的左侧，开口向上，与x轴有两个交点，
∴③正确，
④若k＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，
∵函数y＝k（x+1）（x﹣）的对称轴方程是：x＝＜0，
∴④错误．
故答案为①③．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），若点A（m，s），B（n，t）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较s与t的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，
∴a＝﹣1；
∴y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，s），（n，t）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
∴s＜t．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
【解答】解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴OC＝AC，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3cm．
19．（8分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖．
方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品，你会选择哪个方案？请用相关的数学知识说明理由．
【解答】解：选择方案二；
∵方案一获奖的概率为，
方案二中出现的可能性如下表所示：
共有9种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的可能性为＝；
∵＞，
∴选择方案二．
20．（10分）如图，一圆弧形钢梁
（1）请用直尺和圆规补全钢梁所在圆；
（2）若钢梁的拱高为8米，跨径为40米，求这钢梁圆弧的半径．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．
（2）如图，连接OB，
由题意知CD＝8米，AB＝40米，
∵OD⊥AB，
∴BC＝AC＝AB＝20米，
设圆的半径为r，
则OC＝r﹣8，
在Rt△BOC中，由BO2＝BC2+OC2可得r2＝（r﹣8）2+202，
解得：r＝29，
答：这钢梁圆弧的半径为29米．
21．（10分）九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示．若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），实心球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号）
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴代入得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+5．
（2）∵令y＝0，即﹣（x﹣6）2+5＝0，解得x1＝6﹣2（舍去），x2＝6+2
∴OC＝6+2．
答：该同学把实心球扔出（6+2）m．
22．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 y＝﹣x+110 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点Q，问：△BCQ的最大面积是多少？此时点Q的坐标是多少？
（3）若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得：，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）令，解得x＝﹣1或4，
故B（4，0），
由B、C的坐标得：，
令，
∴x＝2时，h有最大值为3，此时Q的坐标为；
则S△BCQ＝＝6；
（3）∵∠DCB＝2∠ABC，
∴CD所在直线与CB所在直线关于y轴对称，
则，
联立，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴则点D坐标为．
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日期：2021/11/3 9:12:13；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471x
﹣7
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﹣4
﹣3
﹣2
y
﹣27
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﹣3
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﹣7
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﹣5
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y
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