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2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合目要求。
1．（3分）已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
2．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．（3分）一枚硬币三次，两次正面向上一次反面向上，则第四次掷正面向上的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
6．（3分）从一副去掉2张王牌的扑克牌中，任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点（﹣1，1）
B．若a＝﹣2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方
D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
10．（3分）无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（ ）
A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上
C．在x轴上 D．在y轴上
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
12．（4分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB的度数是为 ．
14．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝
15．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 dm．
16．（4分）已知二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是 ．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
18．（8分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数图象上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
20．（10分）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都相同，其中红球有22个，且经过大量试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125．
（1）求袋中有多少个黑球；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问取出了多少个黑球？
21．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
22．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元．
（2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（12分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式．
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合目要求。
1．（3分）已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
【分析】根据点P与圆O的位置关系即可确定OP的范围．
【解答】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
3．（3分）一枚硬币三次，两次正面向上一次反面向上，则第四次掷正面向上的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相等，即可确定．
【解答】解：每次掷硬币正面朝上的概率都是，前面的结果对后面的概率是没有影响的，所以出现正面向上的概率是相同的．
故选：B．
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC＝100°，再利用圆周角定理得到∠A＝∠BOC．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∠OBC＝40°，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣2×40°＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°
故选：C．
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）从一副去掉2张王牌的扑克牌中，任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让红桃张数除以总张数52即可求得从这3张牌中任取1张牌恰好是红桃的概率．
【解答】解：∵一副去掉2张王牌的扑克牌中，共52张牌，红桃有13张，
∴任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是＝．
故选：B．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点（﹣1，1）
B．若a＝﹣2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方
D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣1，
x＝﹣1时，y＝2，
∴二次函数的图象不经过（﹣1，1），选项A错误．
当a＝﹣2时，y＝﹣2x2+4x﹣1，
Δ＝16﹣8＝8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，选项B正确．
当a＜0时，顶点的纵坐标＝＝﹣1﹣a，
﹣1﹣a的值可能为0，可能为正数，可能是负数，故选项C错误，
若a＞0且x≥1，则y随x增大而增大，故选项D错误．
故选：B．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，＝，则利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAD＝40°，于是可判断D选项正确．
【解答】解：∵AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°．
故选：D．
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
【分析】连接EO，只要证明∠D＝∠EOD即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠D+∠DOE，∠AOB＝3∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴ED＝EO＝OB，
故选：D．
10．（3分）无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（ ）
A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上
C．在x轴上 D．在y轴上
【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（﹣m，m），即可判断顶点所在直线．
【解答】解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，
∴顶点坐标是（﹣m，m），
∴顶点在直线y＝﹣x上．
故选：B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．
故答案为．
12．（4分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为 y＝（x+3）2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+3）2．
故答案是：y＝（x+3）2．
13．（4分）如图，圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB的度数是为 100° ．
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠P＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOB的度数．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵四边形APBC为⊙O的内接四边形，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠P＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AOB＝2∠P＝100°．
故答案为100°．
14．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ 5
【分析】由当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x＝，﹣＝5，据此可得m的值．
【解答】解：∵对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x＝﹣＝m＝＝5，即m＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 4 dm．
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，然后由CD＝OD﹣OC即可求解．
【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝16dm，
∴BC＝AB＝8（dm），
在Rt△OBC中，OB＝10dm，BC＝8dm，
∴OC＝＝＝6（dm），
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4（dm）．
故答案为：4．
16．（4分）已知二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是 x＜﹣2或x＞4 ．
【分析】先根据抛物线经过点（﹣2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【解答】解：∵二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），
∴5＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+b，
解得：b＝﹣3，
∴二次函数解析式y1＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜﹣2或x＞4．
故答案为：x＜﹣2或x＞4．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可．
【解答】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（﹣1，2）．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数图象上．
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（0，1），B（2，1）代入y＝x2+px+q，
得，
解得，
∴p，q的值分别为﹣2，1；
（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣2x+1，得y＝4≠2，
∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
【分析】连接BE、AF，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠AFB＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，则根据等角的余角相等得到∠ABE＝∠BAF，然后根据圆周角定理得到结论．
【解答】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴＝．
20．（10分）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都相同，其中红球有22个，且经过大量试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125．
（1）求袋中有多少个黑球；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问取出了多少个黑球？
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125，求出黄球的个数，再用总数40减去黄球、黑球的个数，即为黑球的个数；
（2）首先设取出x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）黄球有40×0.125＝5个，
黑球有40﹣22﹣5＝13个．
答：袋中有13个黑球；
（2）设取出x个黑球，
根据题意得＝，
解得x＝3．
答：取出3个黑球．
21．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
22．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元．
（2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，则（x﹣50）[50+5（100﹣x）＝2500，即可求解；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，即可求解．
【解答】解：（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，
则（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500＝2500（x≥50），
解得：x＝100或60，
故销售单价为60元或100元时，每天的销售利润为2500元；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，
由题意得：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≥50，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80（元）时，y最大值＝4500（元）；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
23．（12分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式．
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）①解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再确定C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
②如图，利用对称性得到x2﹣1＝1﹣x1，则x1+x2＝2，所以x1+x2+x3＝2+x3，利用函数图象得到﹣1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得1﹣b﹣3＝0，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
②如图，x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，
∴x1+x2+x3＝2+x3，
∵y3＜﹣3，即x3﹣3＜﹣3，
∴x3＜0，
∵y＝﹣4时，x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，
∴﹣1＜x3＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合目要求。
1．（3分）已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
2．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．（3分）一枚硬币三次，两次正面向上一次反面向上，则第四次掷正面向上的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
6．（3分）从一副去掉2张王牌的扑克牌中，任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点（﹣1，1）
B．若a＝﹣2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方
D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
10．（3分）无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（ ）
A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上
C．在x轴上 D．在y轴上
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
12．（4分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB的度数是为 ．
14．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝
15．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 dm．
16．（4分）已知二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是 ．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
18．（8分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数图象上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
20．（10分）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都相同，其中红球有22个，且经过大量试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125．
（1）求袋中有多少个黑球；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问取出了多少个黑球？
21．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
22．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元．
（2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（12分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式．
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
2021-2022学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合目要求。
1．（3分）已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
【分析】根据点P与圆O的位置关系即可确定OP的范围．
【解答】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
3．（3分）一枚硬币三次，两次正面向上一次反面向上，则第四次掷正面向上的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相等，即可确定．
【解答】解：每次掷硬币正面朝上的概率都是，前面的结果对后面的概率是没有影响的，所以出现正面向上的概率是相同的．
故选：B．
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC＝100°，再利用圆周角定理得到∠A＝∠BOC．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∠OBC＝40°，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣2×40°＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°
故选：C．
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）从一副去掉2张王牌的扑克牌中，任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让红桃张数除以总张数52即可求得从这3张牌中任取1张牌恰好是红桃的概率．
【解答】解：∵一副去掉2张王牌的扑克牌中，共52张牌，红桃有13张，
∴任抽1张牌，抽出的牌是红桃的概率是＝．
故选：B．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），则下列命题中正确的是（ ）
A．若a＝1，函数图象经过点（﹣1，1）
B．若a＝﹣2，函数图象与x轴交于两点
C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方
D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣1，
x＝﹣1时，y＝2，
∴二次函数的图象不经过（﹣1，1），选项A错误．
当a＝﹣2时，y＝﹣2x2+4x﹣1，
Δ＝16﹣8＝8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，选项B正确．
当a＜0时，顶点的纵坐标＝＝﹣1﹣a，
﹣1﹣a的值可能为0，可能为正数，可能是负数，故选项C错误，
若a＞0且x≥1，则y随x增大而增大，故选项D错误．
故选：B．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（ ）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，＝，则利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAD＝40°，于是可判断D选项正确．
【解答】解：∵AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°．
故选：D．
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
【分析】连接EO，只要证明∠D＝∠EOD即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠D+∠DOE，∠AOB＝3∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴ED＝EO＝OB，
故选：D．
10．（3分）无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（ ）
A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上
C．在x轴上 D．在y轴上
【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（﹣m，m），即可判断顶点所在直线．
【解答】解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，
∴顶点坐标是（﹣m，m），
∴顶点在直线y＝﹣x上．
故选：B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．
故答案为．
12．（4分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为 y＝（x+3）2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+3）2．
故答案是：y＝（x+3）2．
13．（4分）如图，圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB的度数是为 100° ．
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠P＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOB的度数．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵四边形APBC为⊙O的内接四边形，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠P＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AOB＝2∠P＝100°．
故答案为100°．
14．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ 5
【分析】由当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x＝，﹣＝5，据此可得m的值．
【解答】解：∵对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x＝﹣＝m＝＝5，即m＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 4 dm．
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，然后由CD＝OD﹣OC即可求解．
【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝16dm，
∴BC＝AB＝8（dm），
在Rt△OBC中，OB＝10dm，BC＝8dm，
∴OC＝＝＝6（dm），
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4（dm）．
故答案为：4．
16．（4分）已知二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是 x＜﹣2或x＞4 ．
【分析】先根据抛物线经过点（﹣2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【解答】解：∵二次函数y1＝x2﹣2x+b的图象过点（﹣2，5），
∴5＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+b，
解得：b＝﹣3，
∴二次函数解析式y1＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜﹣2或x＞4．
故答案为：x＜﹣2或x＞4．
三、解答题：本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可．
【解答】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（﹣1，2）．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数图象上．
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（0，1），B（2，1）代入y＝x2+px+q，
得，
解得，
∴p，q的值分别为﹣2，1；
（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣2x+1，得y＝4≠2，
∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
【分析】连接BE、AF，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠AFB＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA，则根据等角的余角相等得到∠ABE＝∠BAF，然后根据圆周角定理得到结论．
【解答】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴＝．
20．（10分）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都相同，其中红球有22个，且经过大量试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125．
（1）求袋中有多少个黑球；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问取出了多少个黑球？
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125，求出黄球的个数，再用总数40减去黄球、黑球的个数，即为黑球的个数；
（2）首先设取出x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）黄球有40×0.125＝5个，
黑球有40﹣22﹣5＝13个．
答：袋中有13个黑球；
（2）设取出x个黑球，
根据题意得＝，
解得x＝3．
答：取出3个黑球．
21．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
22．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元．
（2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，则（x﹣50）[50+5（100﹣x）＝2500，即可求解；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，即可求解．
【解答】解：（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，
则（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500＝2500（x≥50），
解得：x＝100或60，
故销售单价为60元或100元时，每天的销售利润为2500元；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，
由题意得：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≥50，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80（元）时，y最大值＝4500（元）；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
23．（12分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式．
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）①解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再确定C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
②如图，利用对称性得到x2﹣1＝1﹣x1，则x1+x2＝2，所以x1+x2+x3＝2+x3，利用函数图象得到﹣1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得1﹣b﹣3＝0，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
②如图，x2﹣1＝1﹣x1，
∴x1+x2＝2，
∴x1+x2+x3＝2+x3，
∵y3＜﹣3，即x3﹣3＜﹣3，
∴x3＜0，
∵y＝﹣4时，x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，
∴﹣1＜x3＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
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