初中数学青岛版九年级上册3.7 正多边形与圆教案

正多边形与圆

一、目标认知
学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．

重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．

难点与关键：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系

二、知识要点透析
知识点一、正多边形的概念
　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
　　要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).
知识点二、正多边形的重要元素
1. 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2. 正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3. 正多边形的有关计算
　　(1)正边形每一个内角的度数是；
　　(2)正边形每个中心角的度数是；
　　(3)正边形每个外角的度数是.
知识点三、正多边形的性质
　　1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2. 正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形.
　　3. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　　　　
知识点四、正多边形的画法
1. 用量角器等分圆：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
题型分类精讲

题型一  正多边形与圆

【例1】（1）判断：

①正多边形的中心角等于它的每一个外角.(  )

②若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.(  )

③各角相等的圆外切多边形是正多边形.(  )

（2）判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“√”，不是打“×”）。

　（1）等边三角形（  ）　　 （2）矩形（  ）　　 （3）菱形（  ）

　（4）正方形（  ）　　     （5）各角相等的圆内接多边形（  ）

　（6）各边相等的圆内接多边形（ ）（7）顺次连接正多边形各边中点所得的多边形（ ）

　（8）既有内切圆又有外接圆，并且这两个圆是同心圆的多边形（ ）

【例2】以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都全等，其中正确的有（       ）

   A．1个        B．2个        C．3个       D 4个

题型二  正多边形的计算

1、已知正多边形的边心距与边长的比是1：2，则此正多边形是(       )

A．正三角形          B.正方形       C．正六边形          D.正十二边形

2、正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（          ）

A. 互余         B. 互补        C. 互余或互补        D. 不能确定

3、若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（      ）

A．36°           B、 18°             C．72°              D．54°

4、正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是(       )

5、已知，正方形的边长为a,它的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r:R:a等于（       ）

A.      B.        C.        D.

6、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（        ）

A.        B.         C.         D.

7、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1,S2,S3,则下列关系成立的是（      ）

A. S1=S2=S3         B. S1>S2>S3           C. S1<S2<S3          D. S2>S3>S1

8、将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为_______

9、正n边形的中心角等于_____，正n边形的每一个内角等于________。正n边形的每一个外角等于________。正n边形内角和_______。

10、正n边形都是_______对称图形，正n边形共有_________条对称轴；正n边形满足什么条件时_____________，那又是中心对称图形，对称中心是__________。

11、正n边形的半径和边心距把正n边形分成_______个全等的直角三角形，每个直角三角形的边分别是指正n边形的________________________________

12、若正多边形的一个外角等于一个内角的，则它是正_________边形。

13、正六边形ABCDEF的边长是10cm，面积为S1，正六边形A′B′C′D′E′F′的边长是5cm，面积为S2，则S1：S2=______________。

14、一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.

15、正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.

16、边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.

17、面积等于cm2的正六边形的周长是____.

18、正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.

19、正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.

20、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是________

21、正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是________

22、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是: ________

23、正三角形的边心距、半径和高的比是________

24、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________

25、圆内接正方形的半径与边长的比值是________

26、圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________

27、已知圆内接正方形的边长为6，则该圆的内接正六边形边长为__________．

28、圆内接正六边形的边长是8 cm那么该正六边形的半径为______；边心距为________．

29、同一个圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为_________________.

30、已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．_________________

31、如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是__________边形

32、一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________

33、有一边长为4的正n边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的半径为_________

34、 正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________

35、同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________

36、正九边形的半径为R，则它的边长是_____

37、一个正n边形的中心角是它的一个内角的1/5，则n=_________.

38、 两个正六边形的边长分别是3和4，则这两个正六边形的面积之比是________.

40、 如图①：四边形ABCD为正方形，M、N分别是BC和CD中点，AM与BN交于点P，

　　(1)请你用几何变换的观点写出△BCN是△ABM经过什么几何变换得来的；

　　(2)观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB的面积相等？写出你的结论.(不必证明)

　　(3)如图②：六边形ABCDEF为正六边形，M、N分别是CD和DE的中点，AM与BN交于点P，问：你在(2)中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由.