高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试导学案及答案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中为真命题的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
答案 A
解析 对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等，故选A.
2．空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是( )
A．(－3，2，5) B．(3，－2，5)
C．(3，2，－5) D．(－3，－2，－5)
答案 C
解析 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，
因为点Q与点P关于zOx平面对称，
所以点Q的坐标是(3，2，－5)．
3．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))，若M，A，B，C共面，则λ等于( )
A.eq \f(7,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为M，A，B，C共面，
所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(7,12).
4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)，则该四面体的体积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(8,3)
答案 A
解析 分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，
则A(0，1，0)，B(0，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，D(0，0，a)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，－1，a)，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
cs θ＝eq \f(\r(10),10)＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|·|\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)\r(1＋a2))，
解得a＝2，
该四面体的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3).
5．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，则当|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值等于( )
A．19 B．－eq \f(8,7) C.eq \f(8,7) D.eq \f(19,14)
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－x，2x－3，3－3x)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1－x2＋2x－32＋3－3x2)＝eq \r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7)).
故当x＝eq \f(8,7)时，|eq \(AB,\s\up6(→))|有最小值．
6．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B.eq \r(41) C．4 D．2eq \r(5)
答案 A
解析 设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，4，－3)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，4λ，－3λ)．
又∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－5，0)，∴eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，得λ＝－eq \f(4,5)，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(9,5)，\f(12,5)))，∴|eq \(BD,\s\up6(→))|＝5.
二、多项选择题
7．已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝3|eq \(MN,\s\up6(→))|且eq \(PQ,\s\up6(→))∥eq \(MN,\s\up6(→))，则Q点的坐标为( )
A．(2，5，0) B．(－4，－1，－6) C．(3，4，1) D．(－3，－2，－5)
答案 AB
解析 设Q(x，y，z)，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z＋3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(1，1，1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x＋12＋y－22＋z＋32)＝3\r(12＋12＋12)，,x＋1＝y－2＝z＋3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－1，,z＝－6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝5，,z＝0，))
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0)．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为B1D1上一点且eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝1，则eq \f(|\(D1P,\s\up6(—→))|,|\(D1B1,\s\up6(—→))|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．1
答案 BD
解析 如图所示建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，设点P(a，a，1)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(a－1，a，1)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(a－1，a－1，1)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(a－1)2＋a(a－1)＋1＝1，
解得a＝1或a＝eq \f(1,2).
a＝1时，点P在B1处，∴eq \f(|\(D1P,\s\up6(—→))|,|\(D1B1,\s\up6(—→))|)＝1，
a＝eq \f(1,2)时，P为D1B1的中点，∴eq \f(|\(D1P,\s\up6(—→))|,|\(D1B1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(1,2).
三、填空题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝a，eq \(PB,\s\up6(→))＝b，eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则eq \(BE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．
答案 eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＋eq \f(1,2)c
解析 由E为PD的中点知，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝－eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＋eq \f(1,2)c.
10．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中点，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MA,\s\up6(→))，则线段OM的长为________．
答案 eq \r(19)
解析 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，
则E(0，0，6)，F(6，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，A(6，0，0)，
所以|eq \(OM,\s\up6(→))|＝eq \r(6－32＋0－32＋4－32)＝eq \r(19)，
即线段OM的长为eq \r(19).
11．已知a＝(5，3，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5))).若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15)))
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))＝3t－eq \f(52,5).
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.
由a·b<0，得3t－eq \f(52,5)<0，所以t若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb，
即(5，3，1)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))解得t＝－eq \f(6,5).
所以t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15))).
12．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
答案 eq \f(\r(30),30)
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)，F(2，1，0)，
eq \(EM,\s\up6(→))＝(－1，1，2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1，0)，
cs〈eq \(EM,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EM,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(EM,\s\up6(→))|·|\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－1,\r(30))＝－eq \f(\r(30),30)，
又异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为eq \f(\r(30),30).
四、解答题
13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．
(1)证明 因为eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AA1,\s\up6(→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AA1,\s\up6(→))))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)解 因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BB1,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq \f(1,3).
14．已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)．
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值；
(2)若(eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→)))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，求k的值．
解 (1)因为A(2，1，0)，B(2，2，1)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，1)．
又C(0，1，2)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.
(2)由(1)可知eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→))＝(－2k，1，2k＋1)，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，1，3)．
因为(eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(AC,\s\up6(→)))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，
解得k＝－eq \f(2,5).
15．已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直．
(1)求向量b的坐标；
(2)若向量b与向量d＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，1))共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值．
解 (1)设b＝(x，y，z)，则由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2z＝－1，,x2＋y2＋z2＝9，,－x＋z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，,z＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－1，,z＝－2.))
∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2)．
(2)∵向量b与向量d＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，1))共线，
∴b＝(2，－1，2)．
又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，
∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)，
∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32，且|a－b|＝2eq \r(5)，|2b＋3c|＝3eq \r(6)，
∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为
cs〈a－b，2b＋3c〉＝eq \f(a－b·2b＋3c,|a－b||2b＋3c|)＝－eq \f(8\r(30),45).