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数学必修 第二册5.4 统计与概率的应用学案
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这是一份数学必修 第二册5.4 统计与概率的应用学案，共13页。学案主要包含了统计在实际问题中的应用，概率在整体估计中的应用，概率在决策中的应用等内容，欢迎下载使用。
知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0,1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．
1．事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( × )
2．某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．( × )
3．平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．( √ )
一、统计在实际问题中的应用
例1 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
解 (1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为
eq \x\t(x)2＝eq \f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
反思感悟 频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键．
跟踪训练1 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大？
解 (1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．
(2)抽取比为eq \f(5,100)＝eq \f(1,20)，
从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×eq \f(1,20)＝2(人)，设这两位员工分别为1,2；从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×eq \f(1,20)＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.
从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．
两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为eq \f(3,10)；
其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入为2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)；
两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：(1,2)，概率为eq \f(1,10).
∵eq \f(1,10)二、概率在整体估计中的应用
例2 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1 200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．
解 设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝eq \f(1 200,x).第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，故eq \f(1 200,x)≈eq \f(1,10)，解得x≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物．
(学生留)反思感悟 利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为eq \f(m,n).
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为eq \f(m1,n1).
(3)用频率近似等于概率，建立等式eq \f(m,n)≈eq \f(m1,n1).
(4)求得n≈eq \f(m·n1,m1).
跟踪训练2 若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋大约能孵化出多少只小鸡？
解 假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝eq \f(4,5).①
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，
则P(A)≈eq \f(m,20 000)，②
由①②得eq \f(m,20 000)≈eq \f(4,5)，解得m≈16 000.
所以20 000个鸡蛋大约能孵化出16 000只小鸡．
三、概率在决策中的应用
例3 A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
反思感悟 概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策．
跟踪训练3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
解 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，
由互斥事件的概率加法公式，
得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(37,100)＋eq \f(36,100)＝eq \f(73,100)＝0.73，
因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
1．从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72% C．90% D．25%
答案 C
解析 用样本的合格率近似代替总体的合格率为eq \f(36,40)×100%＝90%.
2．从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，
其中甲被选中包含3个样本点，
故甲被选中的概率为eq \f(1,2).
3．为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所有人都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数为( )
A．600 B．200 C．400 D．300
答案 A
解析 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于eq \f(1,3)，所以应有1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知，在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．
4．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 因为各路电车先停靠的概率都等于eq \f(1,4)，
所以乘客等候的电车首先停靠的概率为eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
5．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
答案 eq \f(nM,m)
解析 由题意得eq \f(n,N)≈eq \f(m,M)，∴N≈eq \f(nM,m).
1．知识清单：
(1)概率在决策问题中的作用．
(2)概率在游戏公平中的作用．
(3)概率在科学试验和日常生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
3．易错误区：不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误．
1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为eq \f(1,10)
B．频率为eq \f(1,10)
C．概率接近eq \f(1,10)
D．每抽10台电视机必有1台次品
答案 B
解析 事件C发生的频率为eq \f(1,10)，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近eq \f(1,10)的结论．
2．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是( )
A．二班 B．三班
C．四班 D．三个班机会均等
答案 B
解析 掷两枚硬币，共有4种结果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故选四班的概率是eq \f(1,4)，选三班的概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，选二班的概率为eq \f(1,4)，故选B.
3．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(4,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，所以所求的概率为eq \f(45＋15,90)＝eq \f(2,3).
4．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙 D．以上都对
答案 B
解析 养蜂人甲放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的eq \f(1,101)，而养蜂人乙放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的eq \f(100,101)，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35
答案 A
解析 两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一，它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10个，因此所求的概率为eq \f(10,20)＝0.50.
6．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
答案 50
解析 设有n套次品，由概率的统计定义，知eq \f(n,2 500)≈eq \f(2,100)，解得n≈50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．
7．某人在江边码头上乘船摆渡过江，码头仅可供一艘船靠岸上客，若在半小时内大船靠岸的概率为0.6，汽艇靠岸的概率为0.2，那么此人在半小时内能乘船过江的概率是________．
答案 0.8
解析 P＝0.6＋0.2＝0.8.
8．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
答案 eq \f(7,15)
解析 记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90分之间有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；90～100分之间有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝eq \f(7,15).
9．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
解 (1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.
(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，
从而所求概率为1－P2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9.
10．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%知全校男生人数为eq \f(40,10%)＝400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝eq \f(35,70)＝0.5.
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率是0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树形图如图所示．
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
11．根据医疗所的调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选1人，那么能为病人输血的概率为( )
A．50% B．15% C．45% D．65%
答案 A
解析 仅有O型血的人能为O型血的人输血．故选A.
12．某比赛为两运动员制定下列发球规则．
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．
则对甲、乙公平的规则是( )
A．规则一和规则二 B．规则一和规则三
C．规则二和规则三 D．规则二
答案 B
解析 规则一每人发球的概率都是相等的，公平．规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)，共6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为eq \f(1,3)，不公平．规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平．
13．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的大约有________人．
答案 6 912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq \f(14,50)＝eq \f(18,25)，∴可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的大约有9 600×eq \f(18,25)＝6 912(人)．
14．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．
答案 3或4
解析 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，
点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，
且事件Cn的概率最大，
当n＝2时，P点是(1,1)，
当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)．
当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，
当n＝5时，P点是(2,3)，
即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.
15．如果消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的消息量为I(M)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(PM＋\f(1,PM)))，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是( )
A．小明在第4排 B．小明在第5列
C．小明在第4排第5列 D．小明在某一排
答案 C
解析 小明在4排的概率P(A)＝eq \f(1,4)，
则I(A)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋4))＝lg2eq \f(17,4)；
P(B)＝eq \f(1,8)，I(B)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)＋8))＝lg2eq \f(65,8)；
P(C)＝eq \f(1,32)，则I(C)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32＋\f(1,32)))；
P(D)＝1，则I(D)＝1，故最大值为选项C.
16．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得，第4组的频率为1－0.1－0.3－0.3－0.1＝0.2.则x＝eq \f(0.2,10)＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生的成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74.
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝eq \f(220,3)，即所求的中位数为eq \f(220,3).
(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在[70,80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有样本点为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20个，且这20个样本点发生的可能性是相等的．
其中成绩在[80,100]的学生没被抽到的样本点为(a，b，c)，只有1个．
故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率为1－eq \f(1,20)＝eq \f(19,20).日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0,1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．
1．事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( × )
2．某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．( × )
3．平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．( √ )
一、统计在实际问题中的应用
例1 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
解 (1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为
eq \x\t(x)2＝eq \f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
反思感悟 频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键．
跟踪训练1 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大？
解 (1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．
(2)抽取比为eq \f(5,100)＝eq \f(1,20)，
从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×eq \f(1,20)＝2(人)，设这两位员工分别为1,2；从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×eq \f(1,20)＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.
从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．
两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为eq \f(3,10)；
其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入为2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)；
两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：(1,2)，概率为eq \f(1,10).
∵eq \f(1,10)
例2 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1 200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．
解 设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝eq \f(1 200,x).第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，故eq \f(1 200,x)≈eq \f(1,10)，解得x≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物．
(学生留)反思感悟 利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为eq \f(m,n).
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为eq \f(m1,n1).
(3)用频率近似等于概率，建立等式eq \f(m,n)≈eq \f(m1,n1).
(4)求得n≈eq \f(m·n1,m1).
跟踪训练2 若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋大约能孵化出多少只小鸡？
解 假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝eq \f(4,5).①
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，
则P(A)≈eq \f(m,20 000)，②
由①②得eq \f(m,20 000)≈eq \f(4,5)，解得m≈16 000.
所以20 000个鸡蛋大约能孵化出16 000只小鸡．
三、概率在决策中的应用
例3 A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
反思感悟 概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策．
跟踪训练3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
解 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，
由互斥事件的概率加法公式，
得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(37,100)＋eq \f(36,100)＝eq \f(73,100)＝0.73，
因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
1．从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72% C．90% D．25%
答案 C
解析 用样本的合格率近似代替总体的合格率为eq \f(36,40)×100%＝90%.
2．从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，
其中甲被选中包含3个样本点，
故甲被选中的概率为eq \f(1,2).
3．为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所有人都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数为( )
A．600 B．200 C．400 D．300
答案 A
解析 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于eq \f(1,3)，所以应有1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知，在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．
4．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 因为各路电车先停靠的概率都等于eq \f(1,4)，
所以乘客等候的电车首先停靠的概率为eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
5．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．
答案 eq \f(nM,m)
解析 由题意得eq \f(n,N)≈eq \f(m,M)，∴N≈eq \f(nM,m).
1．知识清单：
(1)概率在决策问题中的作用．
(2)概率在游戏公平中的作用．
(3)概率在科学试验和日常生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
3．易错误区：不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误．
1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为eq \f(1,10)
B．频率为eq \f(1,10)
C．概率接近eq \f(1,10)
D．每抽10台电视机必有1台次品
答案 B
解析 事件C发生的频率为eq \f(1,10)，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近eq \f(1,10)的结论．
2．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是( )
A．二班 B．三班
C．四班 D．三个班机会均等
答案 B
解析 掷两枚硬币，共有4种结果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故选四班的概率是eq \f(1,4)，选三班的概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，选二班的概率为eq \f(1,4)，故选B.
3．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(4,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，所以所求的概率为eq \f(45＋15,90)＝eq \f(2,3).
4．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙 D．以上都对
答案 B
解析 养蜂人甲放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的eq \f(1,101)，而养蜂人乙放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的eq \f(100,101)，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35
答案 A
解析 两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一，它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10个，因此所求的概率为eq \f(10,20)＝0.50.
6．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
答案 50
解析 设有n套次品，由概率的统计定义，知eq \f(n,2 500)≈eq \f(2,100)，解得n≈50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．
7．某人在江边码头上乘船摆渡过江，码头仅可供一艘船靠岸上客，若在半小时内大船靠岸的概率为0.6，汽艇靠岸的概率为0.2，那么此人在半小时内能乘船过江的概率是________．
答案 0.8
解析 P＝0.6＋0.2＝0.8.
8．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
答案 eq \f(7,15)
解析 记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90分之间有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；90～100分之间有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝eq \f(7,15).
9．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
解 (1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.
(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，
从而所求概率为1－P2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9.
10．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%知全校男生人数为eq \f(40,10%)＝400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝eq \f(35,70)＝0.5.
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率是0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树形图如图所示．
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
11．根据医疗所的调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选1人，那么能为病人输血的概率为( )
A．50% B．15% C．45% D．65%
答案 A
解析 仅有O型血的人能为O型血的人输血．故选A.
12．某比赛为两运动员制定下列发球规则．
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．
则对甲、乙公平的规则是( )
A．规则一和规则二 B．规则一和规则三
C．规则二和规则三 D．规则二
答案 B
解析 规则一每人发球的概率都是相等的，公平．规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)，共6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为eq \f(1,3)，不公平．规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平．
13．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的大约有________人．
答案 6 912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq \f(14,50)＝eq \f(18,25)，∴可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的大约有9 600×eq \f(18,25)＝6 912(人)．
14．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．
答案 3或4
解析 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，
点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，
且事件Cn的概率最大，
当n＝2时，P点是(1,1)，
当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)．
当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，
当n＝5时，P点是(2,3)，
即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.
15．如果消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的消息量为I(M)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(PM＋\f(1,PM)))，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是( )
A．小明在第4排 B．小明在第5列
C．小明在第4排第5列 D．小明在某一排
答案 C
解析 小明在4排的概率P(A)＝eq \f(1,4)，
则I(A)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋4))＝lg2eq \f(17,4)；
P(B)＝eq \f(1,8)，I(B)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)＋8))＝lg2eq \f(65,8)；
P(C)＝eq \f(1,32)，则I(C)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32＋\f(1,32)))；
P(D)＝1，则I(D)＝1，故最大值为选项C.
16．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得，第4组的频率为1－0.1－0.3－0.3－0.1＝0.2.则x＝eq \f(0.2,10)＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生的成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74.
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝eq \f(220,3)，即所求的中位数为eq \f(220,3).
(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在[70,80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有样本点为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20个，且这20个样本点发生的可能性是相等的．
其中成绩在[80,100]的学生没被抽到的样本点为(a，b，c)，只有1个．
故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率为1－eq \f(1,20)＝eq \f(19,20).日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
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