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初中12.2 证明评课课件ppt
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这是一份初中12.2 证明评课课件ppt，共46页。PPT课件主要包含了欣赏判断，试一试，议一议，对顶角相等，等量代换，求证b∥c，做一做，合作探索，本节课你学到什么等内容，欢迎下载使用。
1. 经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受证明的必要性。2. 尝试用证明的方法解决问题，体验证明须步步有据，培养学生严密分析问题的能力。3. 通过实验、操作、探索，培养学生辨证分析问题的能力和逆向思维的能力；懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体。
1.体会眼见未必为实，感受证明的重要性。
1.学会用数学知识和方法证明解决问题。
观察图片，蓝色的粗线是直的吗？
观察图形，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？
在图12-1中，两条线段AB与CD哪一条长一些？
看上去线段AB比线段CD长．
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长．
把图12-2(1)长方形草坪中间lm宽的直道，改成图12-2(2)中处处1m宽的“曲径”. 这两条小道的面积相等吗？
如果将图12-2(2）中小道左边的草坪向右平移1m，那么得到一个长为（a-1)m、宽为bm的长方形（如图12-3)，它的面积为b(a-1)m2.于是，“曲径”的面积为ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m2).由图12-2(1）可知直道的面积为1×b=b(m2).
通过图形的平移和计算，可以证实：两条小道的面积等．
如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平形四边形，根据图中标明的数据，计算空白部分的面积？
点拔：这里通过平移，避免了对图形分别计算面积，使求解简洁方便.
析解：利用“平移不改变图形的形状与大小”这一性质可以迅速解决本题.由图可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，它的长为（a-c)，宽为(b-c)，所以空白部分的面积为：（a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2
1．图12-4(l）是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图12-4(2）重新拼合.
这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
2．画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F（如图12-5(1)）.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？（2）把三角尺绕点P旋转（如图12-5(2)），PE与PF相等吗？
在后续的学习中，可以证实：图12-4(2)不是长方形；图12-5中PE与PF相等．
如图的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l 是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r，求绿色部分的面积.
解：如果以直线l为对称轴，把l左边绿色部分反射到l的右边，那么它们的像恰好填补了右边白色部分．所以图中的绿色部分的面积等于半圆的面积是 .
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可. 要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质、和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明(prf).经过证明的真命题称为定理（therem).
想一想：（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？
已知，如图， 直线a//b， ∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角. 求证：∠1＝∠2
已知：如图，直线a∥b， ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2
证明：∵a∥b ( )
∴∠3=∠2 ( )
∵ ∠3=∠1 ( )
∴∠1=∠2 ( )
两直线平行，同位角相等
做一做： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．求证：∠1+∠2＝180°
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、 求证，这时只要写出“证明”一项就可以了．
例1 已知：如图12-7，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求证：MG∥NH.
证明：∵AB∥CD（已知），∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）.∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），∴∠EMG= ∠EMB，∠ENH= ∠END（角平分线的定义）.∴∠EMG=∠ENH（等量代换）.∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
根据下列命题，画出图形，并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程)： （1）垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a ， c⊥a
（2）一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线， EF⊥OA于F ， EG⊥OB于G求证：EF=EG
（3）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a，b，c被直线d所截，且a∥b ，c∥b，求证：a∥c
对于三角形，我们已经有哪些认识？
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果.
求证：三角形三个内角的和等于180º.
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）.他的想法可行吗？
证明 过点A作DE∥BC.则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE ＝∠DAE＝180º（平角的定义）
你还有其他的证明方法么？
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定，平时做题时要注意总结.
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角
∠ACD =∠A+∠B
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800.
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ
∴ ∠ACD >∠A， ∠ACD >∠B
三角形内角和定理的几何表述：
例2 已知：如图12-9，AC、BD相交于点O.求证：∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D.
证明：在△AOB中， ∠A+ ∠B+ ∠AOB=180 °（三角形三个内角的和等于180 °）.∴ ∠A+ ∠B=180 °-∠AOB（等式性质）.在△COD中，同理可得∠C+ ∠D=180 °-∠COD.∵∠AOB= ∠COD（对顶角相等）.∴ ∠A+ ∠B=∠C+ ∠D（等量代换）.
已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.这个命题是真命题还是假命题？
如果是真命题，请给出证明；
如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为真命题.你有几种不同的添加方法？
1．图中两条线段AB与BC的长度相等吗？请你先观察，再度量．
观察AB与BC，容易得到AB比BC长．
经过度量，得到AB=BC，可见直接观察是不准确的．
2．图中两组圆的中央各有一个圆，这两个圆一样大吗？请你先观察，在度量．
观察两个圆，容易得到周围是小圆的圆较大．
经过度量，两个圆的大小是相等的，观察是不准确的．
3．（1）任意写2个相邻偶数，计算较大偶数的平方 减去较小偶数的平方差；（2）换2个相邻偶数，仿照（1）再试试，你发现了什么？（3）证实你发现的结论．
（1）例如：取4，2；则42-22=12．
（2）例如：取8，6；则82-62=28． 发现（2（n+1））2-（2n）2=4（2n+1）（n为正整数）．
（3）证明：取n为正整数，则一偶数为2n，相邻的偶数可取2（n+1）；（2（n+1））2-（2n）2=4（n2+2n+1）-4n2=4（2n+1）．
填写下列推理中的空格（第1、2题）：1．如图，点A、B、E在一条直线上．（1）∵∠1=∠3（已知）∴AB∥DC（ ）；（2）∵∠DAE=∠CBE（已知），∴AD∥BC（ ）；（3）∵∠CDA+∠DAB=180˚（已知），∴AB∥DC（ ）；（4）∠2=∠4（已知），∴___________∥___________（内错角相等，两直线平行）；
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
（5）∵∠DCB+∠ABC=180˚（已知），∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）；（6）∵∠DAB+∠ABC=180˚（已知），∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）．
2．已知：如图，∠BAD=∠DCB，∠1=∠3．求证：AD∥BC．证明：∵∠BAD=∠DCB，∠1=∠3（ ），∴∠BAD-∠_________=∠DCB-∠_________（等式性质），即 ∠___________=∠___________．∴AD∥BC（ ）．
3．已知：如图，a∥b，c∥d，∠1=50˚．求证：∠2=130˚．
证明：在图上另取两个角∠3，∠4，如图所示：∵ c∥d ，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）；又∵ a∥b，∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）；∴∠1= ∠4，∴∠2=180˚- ∠4=180˚-∠1=130˚
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B．求证：∠ADE=∠DAE．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC；∵∠BAD+∠B= ∠ADE（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）， ∠EAC+ ∠DAC= ∠DAE；又∵ ∠EAC=∠B，∴ ∠ADE=∠DAE．
经过刚才的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形.
（2）在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论.
（3）在“证明”中写出推理过程，并且步步有据.
1. 经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受证明的必要性。2. 尝试用证明的方法解决问题，体验证明须步步有据，培养学生严密分析问题的能力。3. 通过实验、操作、探索，培养学生辨证分析问题的能力和逆向思维的能力；懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体。
1.体会眼见未必为实，感受证明的重要性。
1.学会用数学知识和方法证明解决问题。
观察图片，蓝色的粗线是直的吗？
观察图形，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？
在图12-1中，两条线段AB与CD哪一条长一些？
看上去线段AB比线段CD长．
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长．
把图12-2(1)长方形草坪中间lm宽的直道，改成图12-2(2)中处处1m宽的“曲径”. 这两条小道的面积相等吗？
如果将图12-2(2）中小道左边的草坪向右平移1m，那么得到一个长为（a-1)m、宽为bm的长方形（如图12-3)，它的面积为b(a-1)m2.于是，“曲径”的面积为ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m2).由图12-2(1）可知直道的面积为1×b=b(m2).
通过图形的平移和计算，可以证实：两条小道的面积等．
如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平形四边形，根据图中标明的数据，计算空白部分的面积？
点拔：这里通过平移，避免了对图形分别计算面积，使求解简洁方便.
析解：利用“平移不改变图形的形状与大小”这一性质可以迅速解决本题.由图可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，它的长为（a-c)，宽为(b-c)，所以空白部分的面积为：（a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2
1．图12-4(l）是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图12-4(2）重新拼合.
这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
2．画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F（如图12-5(1)）.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？（2）把三角尺绕点P旋转（如图12-5(2)），PE与PF相等吗？
在后续的学习中，可以证实：图12-4(2)不是长方形；图12-5中PE与PF相等．
如图的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l 是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r，求绿色部分的面积.
解：如果以直线l为对称轴，把l左边绿色部分反射到l的右边，那么它们的像恰好填补了右边白色部分．所以图中的绿色部分的面积等于半圆的面积是 .
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可. 要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质、和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明(prf).经过证明的真命题称为定理（therem).
想一想：（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？
已知，如图， 直线a//b， ∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角. 求证：∠1＝∠2
已知：如图，直线a∥b， ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2
证明：∵a∥b ( )
∴∠3=∠2 ( )
∵ ∠3=∠1 ( )
∴∠1=∠2 ( )
两直线平行，同位角相等
做一做： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．求证：∠1+∠2＝180°
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、 求证，这时只要写出“证明”一项就可以了．
例1 已知：如图12-7，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求证：MG∥NH.
证明：∵AB∥CD（已知），∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）.∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），∴∠EMG= ∠EMB，∠ENH= ∠END（角平分线的定义）.∴∠EMG=∠ENH（等量代换）.∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
根据下列命题，画出图形，并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程)： （1）垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a ， c⊥a
（2）一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线， EF⊥OA于F ， EG⊥OB于G求证：EF=EG
（3）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a，b，c被直线d所截，且a∥b ，c∥b，求证：a∥c
对于三角形，我们已经有哪些认识？
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果.
求证：三角形三个内角的和等于180º.
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）.他的想法可行吗？
证明 过点A作DE∥BC.则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE ＝∠DAE＝180º（平角的定义）
你还有其他的证明方法么？
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定，平时做题时要注意总结.
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角
∠ACD =∠A+∠B
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800.
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ
∴ ∠ACD >∠A， ∠ACD >∠B
三角形内角和定理的几何表述：
例2 已知：如图12-9，AC、BD相交于点O.求证：∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D.
证明：在△AOB中， ∠A+ ∠B+ ∠AOB=180 °（三角形三个内角的和等于180 °）.∴ ∠A+ ∠B=180 °-∠AOB（等式性质）.在△COD中，同理可得∠C+ ∠D=180 °-∠COD.∵∠AOB= ∠COD（对顶角相等）.∴ ∠A+ ∠B=∠C+ ∠D（等量代换）.
已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.这个命题是真命题还是假命题？
如果是真命题，请给出证明；
如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为真命题.你有几种不同的添加方法？
1．图中两条线段AB与BC的长度相等吗？请你先观察，再度量．
观察AB与BC，容易得到AB比BC长．
经过度量，得到AB=BC，可见直接观察是不准确的．
2．图中两组圆的中央各有一个圆，这两个圆一样大吗？请你先观察，在度量．
观察两个圆，容易得到周围是小圆的圆较大．
经过度量，两个圆的大小是相等的，观察是不准确的．
3．（1）任意写2个相邻偶数，计算较大偶数的平方 减去较小偶数的平方差；（2）换2个相邻偶数，仿照（1）再试试，你发现了什么？（3）证实你发现的结论．
（1）例如：取4，2；则42-22=12．
（2）例如：取8，6；则82-62=28． 发现（2（n+1））2-（2n）2=4（2n+1）（n为正整数）．
（3）证明：取n为正整数，则一偶数为2n，相邻的偶数可取2（n+1）；（2（n+1））2-（2n）2=4（n2+2n+1）-4n2=4（2n+1）．
填写下列推理中的空格（第1、2题）：1．如图，点A、B、E在一条直线上．（1）∵∠1=∠3（已知）∴AB∥DC（ ）；（2）∵∠DAE=∠CBE（已知），∴AD∥BC（ ）；（3）∵∠CDA+∠DAB=180˚（已知），∴AB∥DC（ ）；（4）∠2=∠4（已知），∴___________∥___________（内错角相等，两直线平行）；
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
（5）∵∠DCB+∠ABC=180˚（已知），∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）；（6）∵∠DAB+∠ABC=180˚（已知），∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）．
2．已知：如图，∠BAD=∠DCB，∠1=∠3．求证：AD∥BC．证明：∵∠BAD=∠DCB，∠1=∠3（ ），∴∠BAD-∠_________=∠DCB-∠_________（等式性质），即 ∠___________=∠___________．∴AD∥BC（ ）．
3．已知：如图，a∥b，c∥d，∠1=50˚．求证：∠2=130˚．
证明：在图上另取两个角∠3，∠4，如图所示：∵ c∥d ，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）；又∵ a∥b，∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）；∴∠1= ∠4，∴∠2=180˚- ∠4=180˚-∠1=130˚
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B．求证：∠ADE=∠DAE．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC；∵∠BAD+∠B= ∠ADE（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）， ∠EAC+ ∠DAC= ∠DAE；又∵ ∠EAC=∠B，∴ ∠ADE=∠DAE．
经过刚才的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形.
（2）在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论.
（3）在“证明”中写出推理过程，并且步步有据.
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