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2021-2022学年北京五十四中九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年北京五十四中九年级（上）期中数学试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京五十四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题3分）
1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝﹣4
4．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
二、填空题（本题共16分，每小题3分）
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，则b＝ ；顶点坐标是 ．
10．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 ．
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
12．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
14．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 米．
15．（3分）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
18．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ °．
19．（5分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
21．（5分）下表是二次函数y1＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
（1）二次函数图象顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）求此抛物线的解析式．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若BC＝15，AD＝20，求AB和CD的长．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，3求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2021-2022学年北京五十四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题3分）
1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣，
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣4，
∴a＝﹣1，b＝4，
∴其对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝2．
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，得：y＝（x﹣5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣5）2+3，
故选：D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝58°，
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
【分析】设年平均增长率为x，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，
则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，
故选：C．
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题3分）
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，则b＝ 4 ；顶点坐标是 （2，7） ．
【分析】由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝4，
∴二次函数y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标是（2，7），
故答案为：4，（2，7）．
10．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣2x﹣1 ．
【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线x＝1，与x的轴的一个交点是（3，0），则该函数与x轴的另一个交点是（﹣1，0），
即当y＝0时，0＝﹣x2+2x+m，此时x1＝3，x2＝﹣1，
故关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
故答案是：x1＝3，x2＝﹣1．
12．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 4 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ODC＝90°，BD＝CD，
∵OD＝AD，
∴OD＝OA＝＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴BC＝2CD＝4，
故答案为4．
13．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ 2 ．
【分析】由题意可得：∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，即可求PB的长度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠BPO＝∠APB＝30°，BO⊥PB．
∴PO＝2AO＝4，
∴PB＝＝＝2．
故答案是：2．
14．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 3 米．
【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形＝求出即可．
【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：＝5πm2．
解得：R＝3
故答案为：3．
15．（3分）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ﹣5＜m＜﹣1 ．
【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB线切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
故P横坐标m的取值范围为：﹣5＜m＜﹣1，
故答案为：﹣5＜m＜﹣1．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：，2．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
可得2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
18．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ 30 °．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明△BOC是等边三角形，∠ACB＝90°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝30°．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．
19．（5分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′即可得到△AB′C′；
（2）由于线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出B点走过的路程长．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）AB＝＝5，
所以线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程长＝＝π．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出Δ＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
21．（5分）下表是二次函数y1＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
（1）二次函数图象顶点坐标是 （1，﹣2） ，m的值为 2 ；
（2）求此抛物线的解析式．
【分析】（1）直接根据二次函数的性质可得答案；
（2）先设出二次函数的顶点式，再利用待定系数法可得问题的答案．
【解答】解：（1）∵x＝0和2时的函数值都是﹣1相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），
∴点（﹣1，m）与点（3，2）是对称点，
∴m＝2，
故答案为：（1，﹣2），2；
（2）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2
把点（0，﹣1）代入二次函数解析式得，
﹣1＝﹣a﹣2，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若BC＝15，AD＝20，求AB和CD的长．
【分析】（1）直接根据垂径定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理判断出△ABD是直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长，由AB•DE＝AD•BD即可求出DE的长，再由CD＝2DE即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴BC＝BD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝25，
∵AB•DE＝AD•BD，
∴×25×DE＝×20×15．
∴DE＝12．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD＝2DE＝2×12＝24．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）根据图象可得答案；
（3）先画出直线y＝x﹣3，则可得到直线y＝x﹣3与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），（3，0），然后写出抛物线在直线y＝x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，
（2）当x＝4时，y＝5；当x＝0时，y＝﹣3，
∴当0＜x＜4时，﹣3＜y＜5；
（3）由图象可得m＜0或m＞3．
24．（6分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
（2）画图象可得t的取值．
【解答】解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2时，h取得最大值20米；
答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；
（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，
则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）将（4，0）代入即可得答案，
（2）y轴上的点绕原点O顺时针旋转90°到x轴，向右平移则横坐标加2即可求出B的坐标，
（3）根据图形列出不等式可得a的范围；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（4，0），
∴0＝16a+4b，
∴b＝﹣4a．
（2）∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为（a，0），
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为（a+2，0）．
（3）（i）当a＞0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0）．
若线段AC与抛物线有公共点（如答图1），只需满足：，解得：a≥2；
（ii）当a＜0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0），
若线段AC与抛物线有公共点（如答图2），只需满足：，解得：a≤﹣2；
综上所述，a的取值范围为a≥2或a≤﹣2．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF＝EB．在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB＝，BF＝．再根据线段的和差关系得到AF＝AB﹣BF＝，即BE＝．
（2）根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形的性质得到EF＝DC．再根据等腰直角三角形的性质得到EF＝BE，BC＝AB，根据等量关系即可得到BD＝BE+AB．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB＝90°．
∴∠ADF＝∠EDB．
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠DFB＝45°．
∴DB＝DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF＝EB．
在△ABC和△DFB中，
∵AC＝8，DF＝3，
∴AB＝，BF＝．
AF＝AB﹣BF＝
即BE＝．
（2）如图2，
BD＝BE+AB．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 （﹣5，0）或（7，0） ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，3求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）①求出点M的坐标，即可得出结论．
②因为线段AB到⊙O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解决问题．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．利用面积法求出OH的长，可得结论．
（3）求出d2的最大值与最小值，可得结论．
【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，
故答案为：．
②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．
∵OE＝4，OF＝3，
∴EF＝＝＝5，
∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，
∴OH＝，
观察图象可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，
最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．
（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，
d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5，
∴3≤d2≤5．
2021-2022学年北京五十四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题3分）
1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝﹣4
4．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
二、填空题（本题共16分，每小题3分）
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，则b＝ ；顶点坐标是 ．
10．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 ．
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
12．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
14．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 米．
15．（3分）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
18．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ °．
19．（5分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
21．（5分）下表是二次函数y1＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
（1）二次函数图象顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）求此抛物线的解析式．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若BC＝15，AD＝20，求AB和CD的长．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，3求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题3分）
1．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣，
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣4，
∴a＝﹣1，b＝4，
∴其对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝2．
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，得：y＝（x﹣5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣5）2+3，
故选：D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝58°，
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
【分析】设年平均增长率为x，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，
则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，
故选：C．
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题3分）
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，则b＝ 4 ；顶点坐标是 （2，7） ．
【分析】由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝4，
∴二次函数y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标是（2，7），
故答案为：4，（2，7）．
10．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣2x﹣1 ．
【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线x＝1，与x的轴的一个交点是（3，0），则该函数与x轴的另一个交点是（﹣1，0），
即当y＝0时，0＝﹣x2+2x+m，此时x1＝3，x2＝﹣1，
故关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
故答案是：x1＝3，x2＝﹣1．
12．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 4 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ODC＝90°，BD＝CD，
∵OD＝AD，
∴OD＝OA＝＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴BC＝2CD＝4，
故答案为4．
13．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ 2 ．
【分析】由题意可得：∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，即可求PB的长度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠BPO＝∠APB＝30°，BO⊥PB．
∴PO＝2AO＝4，
∴PB＝＝＝2．
故答案是：2．
14．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 3 米．
【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形＝求出即可．
【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：＝5πm2．
解得：R＝3
故答案为：3．
15．（3分）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ﹣5＜m＜﹣1 ．
【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB线切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
故P横坐标m的取值范围为：﹣5＜m＜﹣1，
故答案为：﹣5＜m＜﹣1．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：，2．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：2x2﹣3x+1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
可得2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
18．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ 30 °．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明△BOC是等边三角形，∠ACB＝90°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝30°．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．
19．（5分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′即可得到△AB′C′；
（2）由于线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出B点走过的路程长．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）AB＝＝5，
所以线段AB在变换到AB′的过程中，B点走过的路程长＝＝π．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出Δ＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
21．（5分）下表是二次函数y1＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣
﹣2
﹣
﹣1
2
…
（1）二次函数图象顶点坐标是 （1，﹣2） ，m的值为 2 ；
（2）求此抛物线的解析式．
【分析】（1）直接根据二次函数的性质可得答案；
（2）先设出二次函数的顶点式，再利用待定系数法可得问题的答案．
【解答】解：（1）∵x＝0和2时的函数值都是﹣1相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），
∴点（﹣1，m）与点（3，2）是对称点，
∴m＝2，
故答案为：（1，﹣2），2；
（2）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2
把点（0，﹣1）代入二次函数解析式得，
﹣1＝﹣a﹣2，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1．
22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若BC＝15，AD＝20，求AB和CD的长．
【分析】（1）直接根据垂径定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理判断出△ABD是直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长，由AB•DE＝AD•BD即可求出DE的长，再由CD＝2DE即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴BC＝BD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝25，
∵AB•DE＝AD•BD，
∴×25×DE＝×20×15．
∴DE＝12．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD＝2DE＝2×12＝24．
23．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）根据图象可得答案；
（3）先画出直线y＝x﹣3，则可得到直线y＝x﹣3与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），（3，0），然后写出抛物线在直线y＝x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，
（2）当x＝4时，y＝5；当x＝0时，y＝﹣3，
∴当0＜x＜4时，﹣3＜y＜5；
（3）由图象可得m＜0或m＞3．
24．（6分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
（2）画图象可得t的取值．
【解答】解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2时，h取得最大值20米；
答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；
（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，
则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）将（4，0）代入即可得答案，
（2）y轴上的点绕原点O顺时针旋转90°到x轴，向右平移则横坐标加2即可求出B的坐标，
（3）根据图形列出不等式可得a的范围；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（4，0），
∴0＝16a+4b，
∴b＝﹣4a．
（2）∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为（a，0），
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为（a+2，0）．
（3）（i）当a＞0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0）．
若线段AC与抛物线有公共点（如答图1），只需满足：，解得：a≥2；
（ii）当a＜0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0），
若线段AC与抛物线有公共点（如答图2），只需满足：，解得：a≤﹣2；
综上所述，a的取值范围为a≥2或a≤﹣2．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF＝EB．在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB＝，BF＝．再根据线段的和差关系得到AF＝AB﹣BF＝，即BE＝．
（2）根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形的性质得到EF＝DC．再根据等腰直角三角形的性质得到EF＝BE，BC＝AB，根据等量关系即可得到BD＝BE+AB．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB＝90°．
∴∠ADF＝∠EDB．
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠DFB＝45°．
∴DB＝DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF＝EB．
在△ABC和△DFB中，
∵AC＝8，DF＝3，
∴AB＝，BF＝．
AF＝AB﹣BF＝
即BE＝．
（2）如图2，
BD＝BE+AB．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 （﹣5，0）或（7，0） ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，3求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）①求出点M的坐标，即可得出结论．
②因为线段AB到⊙O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解决问题．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．利用面积法求出OH的长，可得结论．
（3）求出d2的最大值与最小值，可得结论．
【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，
故答案为：．
②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．
∵OE＝4，OF＝3，
∴EF＝＝＝5，
∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，
∴OH＝，
观察图象可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，
最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．
（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，
d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5，
∴3≤d2≤5．
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