2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)

这是一份2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
3．（2分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
4．（2分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2分）已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．（2分）如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
0
2
2
0
﹣4
…
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　．
10．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为　 　．

11．（2分）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝　 　．
12．（2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　 　m．

13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 　．

14．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为　 　．

15．（2分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径（依据是　 　）．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是　 　）．
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．

16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是　 　．

三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分）
17．（10分）解关于x的方程．
（1）x2+3x+2＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．（6分）已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．
19．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．

20．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：
（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；
x
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
y
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是　 　．

21．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
证明：（1）BD＝DC；
（2）DE是⊙O切线．

22．（6分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
23．（7分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是　 　．
（2）化简：当x＞0时函数y＝　 　，当x＜0时函数y＝　 　．
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　 　．
（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为　 　．

24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．
25．（7分）（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．

26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为　 　．
（2）如图2，，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．


2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆周角定理即可求出答案
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．
3．（2分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．（2分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
【解答】解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
5．（2分）已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，
∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），
∵﹣＜0＜1＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．
6．（2分）如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到＝，而＝，所以＝，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．
【解答】解：∵∠A与∠E都对，
∴∠A＝∠E，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，所以②正确；
∵AB⊥DG，
∴＝，
∵点D是弧EB的中点，
即＝，
∴＝，
∴∠DBE＝∠BDG，
∴FB＝FD，所以③正确．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了垂径定理．
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
0
2
2
0
﹣4
…
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，
由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，
由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；
根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．
【解答】解：连接PC．

∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AC是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
【点评】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为　9　．
【分析】利用△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△＝62﹣4m＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝62﹣4m＝0，解得m＝9．
故答案为9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
10．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为　110°　．

【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：如图，在优弧AB上取点D，连接AD、BD，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠AOB＝70°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，
故答案为：110°．

【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
11．（2分）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝　﹣6　．
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得b的值．
【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，它们的纵坐标相等．
∴抛物线对称轴是直线x＝＝3，
∴﹣＝3，
∴b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的对称性求得对称轴是解题的关键．
12．（2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　2　m．

【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　（2，1）　．

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．

【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
14．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为　0或﹣3　．

【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+4＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣
又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣3，0）．
∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为 0或﹣3．
故答案是：0或﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．
15．（2分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径（依据是　90°的圆周角所对的弦是直径　）．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是　同弧所对的圆周角相等　）．
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．

【分析】先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可．
【解答】解：如图2，连接BC，
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴OB＝BC．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．
故答案为90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．
其中正确结论的序号是　③④　．

【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；
故答案为③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分）
17．（10分）解关于x的方程．
（1）x2+3x+2＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，
则x+1＝0或x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2；

（2）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
则x＝＝＝，
即．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．
【分析】设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，
把（0，0）代入得a（0+2）2+2＝0，解得a＝﹣，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．

【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AC＝AB＝2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
r＝，
答：⊙O半径的长为．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．
20．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：
（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；
x
…
　﹣1　
　0　
　1　
　2　
　3　
…
y
…
　0　
　3　
　4　
　3　
　0　
…
（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是　﹣12＜y≤4　．

【分析】（1）采用列表、描点法画出图象即可；
（2）求得x＝﹣3时所对应的函数值，根据图象即可求得．
【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
描点、连线作图如下：

（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣12，
由图象可知当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4，
故答案为﹣12＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出函数图象是解题的关键．
21．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
证明：（1）BD＝DC；
（2）DE是⊙O切线．

【分析】（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，而AB＝AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD＝CD；
（2）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．
【解答】证明：如右图所示，
（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；

（2）连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODB＝∠AED＝90°，
∴DE是⊙O的切线．

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．
22．（6分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　6　场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）×4×3＝6（场）．
故答案为：6．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝36，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（7分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是　全体实数　．
（2）化简：当x＞0时函数y＝　y＝x2﹣2x　，当x＜0时函数y＝　y＝x2+2x　．
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　函数的最小值为﹣1　．
（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为　k＝﹣1或k＞0　．

【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；
（2）根据绝对值的意义化简即可；
（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为全体实数；
（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，
故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；
（3）列表：
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1
0
1
2
2.5
3
…
y
…
3
1.25
0
﹣1
0
﹣1
0
1.25
3
…
描点画出如下函数图象：

由图象可知：函数的最小值为﹣1，
故答案为函数的最小值为﹣1；

（4）直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．
故答案为：k＝﹣1或k＞0．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；
（2）①根据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；
②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；
（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，
解得x＝1或﹣3，
∴M（﹣3，2）；N（1，2）；
②当抛物线开口向上时，如图1，

抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），
将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝，
将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝，
结合图象可得＜m≤．
当抛物线开口向下时，如图2，

则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），
将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣，
将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到 m＝﹣，
结合图象可得﹣≤m＜﹣．
综上，m的取值范围为．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（7分）（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．
（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．
①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．

【分析】（1）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；
②在PB上截取PE＝PA，由∠APB＝∠ACB＝60°，可得等边三角形△APE，可证明△APC≌△AEB，则BE＝PC，从而得出PB＝PA+PC或AP＝BP+PC；
（2）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；
②在PA上截取AK＝PB，由∠APC＝∠ABC＝45°，可证明△AKC≌△BPC，则CK＝CP，可得等腰直角三角形△CPK，从而得出AP﹣BP＝PC．由图4，同理可得AP+BP＝PC．
【解答】解：（1）①如下图1、图2．
②如图1，在PB上截取PE＝PA，
∵∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△APE是等边三角形，

∵∠BAE＝∠CAP，AB＝AC，
∴△APC≌△AEB（SAS），
∴BE＝PC，
∴BP＝AP+PC．
由图2，同理可得AP＝BP+PC．
（2）①如下图3、图4；
②如图3，在PA上截取AK＝PB，
∵∠CAP＝∠CBP，AB＝AC，
∴△CAK≌△CBP（SAS），
∴CK＝CP，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△CPK是等腰直角三角形，
∴PK＝PC，

∴PK＝AP﹣AK＝AP﹣BP＝PC．
由图4，同理可得AP+BP＝PC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等边三角形、等腰直角三角形、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为　B，C　．
（2）如图2，，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．

【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可．
（2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），推出DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题．
②如图3中，分别以O为圆心，4和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环（包括小圆，不包据大圆）有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直线MN与大圆相切或小圆交于（0，4）或（0，﹣4）时b的值，即可判断．
【解答】解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．
故答案为：B，C．


（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），
∴OP＝4，OQ＝4，
∴tan∠PQO＝，
∴∠PQO＝30°，
①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），

∵D（0，8），
∴DE＝＝4，
当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），
∴DE′＝4，
观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，
∵E′Q⊥OQ，
∴∠E′QO＝90°，
∴∠E′QK＝60°，
∴∠E′KQ＝90°，
∴∠EE′Q＝30°，
∵DE′∥OQ，
∴∠DE′K＝60°，
∵DE′＝DK，
∴△DE′K是等边三角形，
∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6，
∴．

②如图3中，分别以O为圆心，4和4为半径画圆，

当线段MN与图中圆环（包括小圆，不包据大圆）有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，
当直线MN与小圆交于（0，4）或（0，﹣4）时，b＝±4，
当直线MN与大圆相切时，b＝±8，
观察图象可知，满足条件的b的值为：4≤b＜8或﹣8＜b≤﹣4．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的外接圆，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象，寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．