2021学年第二十七章 相似综合与测试导学案

这是一份2021学年第二十七章 相似综合与测试导学案，共34页。学案主要包含了学习目标，重点难点，生活链接，问题探究，解题策略等内容，欢迎下载使用。

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .
2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
【重点难点】
1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．
2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．
知识概览图
相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等
图形的相似
判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等
比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比例线段
新课导引
【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．
【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?
教材精华
知识点1 相似图形
我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．
当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC与△A′B′C′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．
拓展 所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．
知识点2 比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如(即ab＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
(1)式子也可以写成a：b=c：d，通常这里的a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项．
(2)有时在中，b＝c，例如：，这时我们把b叫做a，d的比例中项，此时b2＝ad．
(3)在式子的两边同时乘以bd，得ad＝cb，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．
拓展 通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．
知识点3 相似多边形
对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．
拓展 在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．
知识点4 相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
例如：若△ABC与△A′B′C′相似，则∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，.
拓展 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
知识点5 相似比
相似多边形对应边的比称为相似比．
拓展 相似多边形面积的比等于相似比的平方．
规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．
(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．
探究交流 当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?
点拨 相似比为1的两个图形是全等形．
课堂检测
基本概念题
1、下列多边形中，一定相似的是 ( )
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个平行四边形

2、下列命题中，正确的是 ( )
A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形
C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形
3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?

基础知识应用题
4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?

5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．

综合应用题
6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．

7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )
A．20 m B．16 m
C．18 m D．15 m

探索与创新题
8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．

体验中考
在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为 ( )
A．4．8米 B．6．4米
C．9．6米 D．10米

学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.
【解题策略】 判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．
2、分析 全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.
【解题策略】 如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．
3、分析 四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：b＝c：d变形，可得到bc＝ad，当a：b＝b:c时，有b2＝ac．
解：∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，
∴a2＝bc＝3×12＝36，∴a＝±6．
∵a是线段，∴线段a的长是6．
【解题策略】 如果线段a是线段b，c的比例中项，那么a2=bc．(其中a，b，c均为正数)
4、分析 图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x的形式，也就是说，图上的1 cm相当于实际的x cm，如某图的比例尺为1：40000，就是说图上的1 cm相当于实际的40000 cm，即400 m.
解：∵750 m＝75000 cm，∴5:75000＝1:15000，
即这张图的比例尺是1:15000．
【解题策略】 不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比．
5、分析 根据四边形ABCD各边的比为20：15：9：8可得四边形A′B′C′D′各边的比也为20：15：9：8，再根据四边形A′B′C′D′的周长为26，可求出各条边的长．
解：∵四边形ABD与四边形A′B′C′D′相似，且AB:BC:CD:DA＝20:15:9:8，
∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′＝20：15：9：8．
又∵四边形A′B′C′D′的周长为26，
∴A′B′=26×=10，B′C′=26×=7．5，
C′D′=26×=4．5，D′A′=26×=4，
即四边形A′B′C′D′的各边长分别为A′B′＝10，B′C′＝7．5，C′D′＝4．5，D′A′＝4．
【解题策略】 相似多边形的相似比等于对应边的比．
6、分析 充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题．
解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，
∴∠A＝∠A′=65°，，
即，∴A′D′=(cm)，
∴B′C′＝cm，∠A′＝∠B′＝65°，
∴∠C′＝∠D′＝180°－65°＝115°．
【解题策略】 本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．
7、分析 本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以，∴旗杆的高度＝＝18(m)．故选C．
【解题策略】 解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度．
8、分析 黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618，准确值是．
解：当AC＞BC时，AC=AB=4(－1)，
∴BC=AB－AC=8－4(－1)=12－4=4(3－)，
∴AC：BC=4(－1)：4(3－)=．
当AC＜BC时，BC=AB=4(－1)，
∴AC=AB－BC=4(3－)，
∴AC:BC=4(3－):4(－1)= ．
【解题策略】 对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．
体验中考
分析 设这棵树的高度为x米，则1.6：0.8＝x：4.8，解得x＝9.6．故选C．
【解题策略】 相同时刻的物高与影长成比例．
27.2 相似三角形应用举例
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
【重点难点】
1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
知识概览图
相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．
新课导引
【生活链接】 王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?
【问题探究】 由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，PC＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD，由相似三角形的性质可知，即，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．
教材精华
知识点 应用相似三角形的知识解决实际问题
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．
拓展 求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．

2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．

综合应用题
3、如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?

4、如图27—41所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=4 cm，AB＝8 cm，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，P为AB边上一点，过P作PQ∥BC交AC于Q，以PQ为一边，在点A的另一侧作正方形PQMN，若AP＝3 cm，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．

探索与创新题
5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图27－42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m，落在墙壁上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．

体验中考
小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图27－45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝0．0015 m，则小明射击到的点B′，偏离目标点B的长度BB′为 ( )
A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m

学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 可利用三角形相似的性质来求解．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴Rt△PQR∽Rt△PST，∴，
即，∴，
PQ×90=(PQ+45)×60，解得PQ＝90．
故河宽大约为90 m．
【解题策略】 利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离．
2、分析 要求OB的长度，可以通过证明△OAB∽△O′A′B′，从而得到比例式，进而求解．
解：∵太阳光是平行光线，
∴∠OAB＝∠O′A′B′．
又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，
∴△OAB∽△O′A′B′，
∴OB：O′B′＝AB：A′B′，
∴OB==137(米)．
故金字塔的高度为137米．
【解题策略】 本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量的物体的高度．
3、分析 若四边形PQMN为正方形，则AE⊥PN，这样△APN的高可以写成AD－ED＝AD－PN，再由△APN∽△ABC，即可找到PN与已知条件之间的联系．
解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与正方形PQMN的边PN相交于E，设正方形的边长为x mm．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴,
∴=,解得x=96(mm)，
∴加工成的正方形零件的边长为96 mm．
【解题策略】 本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的问题转化为数学问题来解决．
4、分析 由于PQ∥BC，所以，从而可求出PQ的长，而四边形PQMN是正方形，所以PN的长及DN的长都可以求出来．由于正方形FQMN与矩形EDBF的公共部分是矩形，故只要求出DN，MN的长，就可以求出矩形的面积．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8 cm，BC＝4 cm，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，则AD＝4 cm，DE∥BC，DE⊥AB．
又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴，即，∴PQ=.
由四边形PQMN是正方形，得PN＝，
∴AN＝，DN＝AN－AD＝，
∴正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为：
DN·MN=DN·PQ=×=(cm2)．
【解题策略】 本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟练掌握每一种几何图形的性质．
5、分析 首先根据题意画出示意图(如图27－43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利用△PQR∽△DEC，△PQR∽△ABC求出树高AB．
解：如图27－43(1)所示，延长AD，BE相交于C，则CE是树的影长的一部分．
由题意可得△PQR∽△DEC，∴，
即，∴CE=1.08(m)，
∴BC＝BE+CE＝2.7+1.08＝3.78(m)．
又∵△PQR∽△ABC，∴，
即，∴AB=4.2(m)，
故树高为4．2 m．
体验中考
分析 由三角形相似可得，∴BB′===0.3(m)．故选B.
【解题策略】 解决此题的关键是根据AA′∥BB′，从
27.2.3 相似三角形的周长与面积
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．能用三角形的性质解决简单的问题．
【重点难点】
1．相似三角形的性质与运用．
2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
知识概览图
相似三角形
的周长与面
积
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)
相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)
新课导引
【生活链接】 如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?
【问题探究】 前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢?
教材精华
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
如图27－57所示，如果△ABC∽△A′B′C′，且＝k，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为k，过A作AD⊥BC，过A′作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D，D′，在△ABD与△A′B′D′中，∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以Rt△ABD∽Rt△A′B′D′，所以＝k，即相似三角形对应高的比等于相似比k．
知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
如图27－58所示，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的中线，BE，B′E′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线，若△ABC∽△A′B′C′，则＝k．
知识点3 相似三角形周长的比等于相似比
如果△ABC∽△A′B′C′，并且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么＝k，则AB＝k·A′B′，BC=k·B′C′，AC＝k·A′C′，因此，即相似三角形周长的比等于相似比．
例如：已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，则这两个三角形的相似比为，且，因为AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，所以A′B′＝18 cm，BC＝20 cm，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．
知识点4 相似多边形周长的比等于相似比
如果多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′相似，并且多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′的相似比为k，则＝k，∴A1A2＝kA1′A2′，A2A3＝kA2′A3′，…，AnA1＝kAn′A1′，∴A1A2+A2A3+…+AnA1＝k(A1′A2′+A2′A3′+…+An′A1′)，∴＝k，即相似多边形周长的比等于相似比.
知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方
若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD，A′D′分别是BC与B′C′边上的高，则 =k·k=k2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方
对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．
规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．
(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．
课堂检测
基本概念题
1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为 ；
(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为 ；
(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC的周长为 .

基础知识应用题
2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．

3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．

4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S△ADE＝1，求S△BCE和S△AEF．

5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB·DK＝AC·DH．

综合应用题
6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．
探索与创新题
7、如图27－64所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE交BC于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．

8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长

体验中考
1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．

2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
(1)求证EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k2＝，且k＞0，∴k＝．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴.又∵△A′B′C′的周长为12，∴＝，∴△ABC的周长为20．
答案：(1) ：2 (2)3：2 (3)20
【解题策略】 解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．
2、分析 先说明△ABC∽△DEF，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解．
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，∴
又∵∠D＝∠A，∴△DEF∽△ABC，且相似比为．
∴.即，
∴△DEF的周长为12．
∴，即，
∴S△DEF＝12．
即△DEF的周长为12，面积为12．
【解题策略】 解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．
3、分析 若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，由于△ABC的面积为18，因此只要求出AC边的长，就可以求出AC边上的高．
解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F．
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠ABD＝∠CBE，∴Rt△ADB∽Rt△CEB．
∴,即，且∠ABC=∠DBE，
∴△EBD∽△CBA，∴，
又∵DE＝2，∴AC＝6．
∵S△ABC＝AC·BF＝18，∴BF＝6．
【解题策略】 解决此题的关键是根据已知条件说明△EBD∽△CBA．
4、分析 由AD∥BC，可得△ADE∽△BCE，求S△BCE比较容易，而求S△AEF不易利用相似三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出EF：AD就可以求出△AEF的面积．
解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，
∴S△ADE：S△BCE＝AE2：BE2．
又∵AE:BE＝1：2，∴S△ADE:S△BCE＝1:4，
∵S△ADE＝1，∴S△BCE＝4．
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴EF:BC＝AE：AB＝1:3．
又∵△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE＝1：2，
∴BC＝2AD，∴EF：AD＝2：3．
又∵AD∥EF，∴△ADE与△AEF等高．
∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．
∵S△ADE=1，∴S△AEF＝.
【解题策略】 利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．
5、分析 由已知易证△BHD∽△CKD，△ABH∽△ACK，从而易得,即AB·DK=AC·DH．
证明：∵BH⊥AD，CK⊥AD，∴BH∥CK，
∴△BHD∽△CKD，∴．①
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．
又∵∠BHA=∠CKA=90°，
∴Rt△ABH∽Rt△ACK,∴．②
由①②可知，∴AB·DK＝AC·DH．
【解题策略】 在本题中，利用把和联系起来，通常把这里的叫做中间比，它起到桥梁的作用．
6、分析 梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△AOB和△COD的面积都已用a，b表示出来，因此关键是求出△AOD和△BOC的面积．由图可知△AOD和△BOC的面积相等，而△AOD和△COD在AC边上的高是同一条高，因此△AOD和△COD的面积比就等于AO：OC，这样就可以求出△AOD的面积．
解：∵AB∥CD，∴△COD∽△AOB，
∴
∴
又∵S△ABC＝S△ABD，
∴S△ABC－S△AOB＝S△ABD－S△AOB，
即S△BOC＝S△AOD．
又∵=，
∴S△AOD=·S△COD=·a2=ab．
∴S△COB＝S△AOD＝ab．
∴梯形ABCD的面积S＝a2+ab+ab+b2＝(a+b)2．
【解题策略】 底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质．
7、分析 显然所求线段BF与已知线段BE在同一个三角形中，如果能找到一个与△BEF相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不
能直接找到，如果过O作OC∥BC交AB于G，就能得到△EBF∽△EGO，此题可解．
解：过点O作OG∥BC交AB于G，则△EBF∽△EGO．
∵ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OC，AG＝GB．
又∵△EBF∽△EGO，∴.
∵AG＝GB＝AB，∴OG＝BC．
又∵AB＝a，BC＝b，BE＝c，
∴OG＝b，GB＝a，GE=a+c．
∴，∴BF=.
【解题策略】 解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线．
8、分析 由ED⊥BC，D是BC的中点，可得∠B＝∠1，由AD＝AC，可得∠2＝∠ACD，从而相似可证．过A作AM⊥BC,垂足为M，求DE的长可以在ED∥AM的基础上利用比例线段求得．
证明：(1)∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1．
又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB，
∴△ABC∽△FCD．
解：(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴==4．
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20．
∵S△ABC＝BC·AM，且BC＝10，
∴20=×10·AM，∴AM＝4．
又∵DE∥AM，∴．
∵BM＝BD+DM，BD＝BC＝5，DM＝DC＝，
∴BM＝5+＝，
∴．∴DE=.
体验中考
1、分析 相似三角形的面积之比等于相似比的平方．故填2：5．
2、证明：(1)∵CF平分∠ACB，∴∠1＝∠2．
又∵DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点．
又∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥BC
解：(2)由(1)知，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴．
又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴，
∴S△ABD＝8，
∴△ABD的面积为8．
27、3 位似图形
学习目标：
能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
2、有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯.
学习过程：
一、课前准备
1．知识链接
（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的类型？
（2）位似图形的性质是什么？

2．预习检测
（1）通过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？
（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？
二、学习过程
探究1
请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，同学们在小组间互相交流，看一看有几种方法？
总结上述作法我们可归纳出：
（一）“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.”
第一步:在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P作为位似中心。
第二步:以点P为端点向各关键点作射线.（或以各关键点为端点向P作射线）
第三步:分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.
第四步:顺次连接截取点.
即可得到符合要求的新图形.
简记方法:
1.选点 2.作射线 3.定对应点 4.连线
（二）作位似图形的几种可能：
放大 缩小
同侧 正像
异侧 倒像
探究2
小明想把△ABC进行适当的缩小和放大，他设计了以下几种方案，都可行吗？
1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.
如图1所示.

图1 图2
2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
如图2所示
3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
如图3所示:
图3
三、当堂达标
1、将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )
A.9倍B.3倍
C.81倍D.18倍
2.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=

3.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.

4、做随堂练习2、3（画在书上）
教（学）后记
回想本节所学内容，你学到了什么？还有什么疑问？
27.3位似图形的应用
学习目标：
1、能利用坐标的变化将一个图形放大或缩小，并了解位似变换中对应点的坐标的变化规律。
2、培养观察、分析、归纳能力，发展学生的作图能力；
3、通过观察操作归纳探索过程成功的体验，感受到数学天地无处不在，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。
学习过程：
一、课前准备
1．知识链接
（1）回忆学过的“变化的鱼”，坐标的变化带来图形的怎样变化。
（2）利用位似如何放缩图形？
2、预习检测
在同一个直角坐标系中，怎样通过改变一个图形上各点的坐标来的得到与原图形位似的图形？
说说你的方法。
探究1
在平面直角坐标系内描O(0,0),A(5,4),B(3,0),C(5,1),D(5,-1),B(3,0),E(4,-2),O(0,0)用线段把这些点顺次连接，得到什么图形？将这些点的横坐标、纵坐标都乘以2，再用线段将它们顺次连接。
：
1.线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度各是多少？

2.线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的比各是多少？它们相等吗？

3.在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？
4.如果把图（1）中的“鱼”画到同一个直角坐标系中，它们是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪一个点？
探究2
自学课本62页，观察课本图形并思考：
（1） A′，B′，C′、D′四点的坐标与A，B，C、D四点的坐标有什么关系？
（2）你还能在其他象限中画出满足条件的矩形A″B″C″D″吗？如果能，两个矩形的对应顶点的坐标有什么关系？
探究3
在同一个直角坐标系中，将一个图形上各点的横坐标和纵坐标都乘同一个数k，当k是一个不等于1的正数时，得到的图形与原来的图形是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？位似比等于多少？当k是一个负数时呢？
三、当堂达标
1．一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.

2、P62 随堂练习 1.
3、 P63 随堂练习 2.
4、在下面的网格图中按要求画出图形.
先画出△ABC关于X轴对称的△A1B1C1，再画出以点O为位似中心，与△ABC位似且位似比为2的△A2B2C2；
A
B
C
·
教（学）后记
回想本节所学内容，你学到了什么？还有什么疑问？