2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期摸底测试数学试题

2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期摸底测试数学试题

一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）

1. 已知：点､在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=”､“<”填）.

2. 若集合，则实数___________.

3. 在和中，，且，则的周长=___________cm.

4. 如图，内接于，，，BD为的直径，，则AB等于___________.

5. 把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2021次操作后得到的是___________.

6. 已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.

7. 若和或都是假命题，则的范围是__________

8. 已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.

9. 如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC､BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG､BG､BE，当时，的面积记为；当时，的面积记为，……，以此类推，当时，的面积记为，则的值为___________.

10. 如图，己知圆O的面积为，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为，弧BD的度数为，点P为直径AB上任一点，则的最小值为___________.

11. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.

①集合为幸运集；②集合为幸运集；

③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；

其中正确结论的序号是________

12. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上）

①可能均为有理数

②可能均为无理数

③可能恰有一个为有理数

④可能恰有两个有理数

二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）

13. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 如图，在中，，，.P是AB边上一动点，于点D，点E在P的右侧，，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况（    ）

A. 一直减小 B. 一直不变

C 先减小后增大 D. 先增大后减小

15. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于

16. 关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：

①这两个方程根都是负根；

②；

③.

其中正确结论的个数是（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

三､解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.

17. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数t的取值范围.

18. 如图，点，在反比例函数图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.

（1）若，求n的值；

（2）求的值；

（3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式.

19. 某同学在解答题目：“化简并求值，其中”时：解答过程是：；

（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程.

（2）设（n为正整数），考察所求式子的结构特征：

①先化简通项公式；

②求出与S最接近的整数是多少？

20. 交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1，在中，点D为BC中点，“中线长定理”即.小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作于点E，如图2，在中，，

同理可得：，，

为证明的方便，不妨设，，

∴……

（1）请你完成小明剩2余的证明过程；

理解运用：

（2）①在中，点D为BC的中点，，，，则___________；

②如图3，的半径为6，点A在圆内，且，点B和点C在上，且，点E､F分别为AO，BC的中点，则EF的长为___________；

拓展延伸：

（3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点O），以为直角顶点的的另两个顶点B，C都在上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值.

21. 已知集合A为非空数集，定义：，

（1）若集合，直按写出集合S，T（无需写计算过程）

（2）若集合，，且，求证：

（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.

上海交通大学附属中学2021-2022学年度第一学期

高一数学摸底试卷 答案

一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）

1. 已知：点､在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=”､“<”填）.

答案：

2. 若集合，则实数___________.

答案：4

3. 在和中，，且，则的周长=___________cm.

答案：40

4. 如图，内接于，，，BD为的直径，，则AB等于___________.

答案：

5. 把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2021次操作后得到的是___________.

答案：

6. 已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.

答案：

7. 若和或都是假命题，则的范围是__________

答案：

8. 已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.

答案：

9. 如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC､BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG､BG､BE，当时，的面积记为；当时，的面积记为，……，以此类推，当时，的面积记为，则的值为___________.

答案：
 

10. 如图，己知圆O的面积为，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为，弧BD的度数为，点P为直径AB上任一点，则的最小值为___________.

答案：3

11. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.

①集合为幸运集；②集合为幸运集；

③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；

其中正确结论的序号是________

答案：②④

12. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上）

①可能均为有理数

②可能均为无理数

③可能恰有一个为有理数

④可能恰有两个有理数

答案：①②③

二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）

13. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：D

14. 如图，在中，，，.P是AB边上一动点，于点D，点E在P的右侧，，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况（    ）

A. 一直减小 B. 一直不变

C 先减小后增大 D. 先增大后减小

答案：C

15. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于

答案：A

16. 关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：

①这两个方程根都是负根；

②；

③.

其中正确结论的个数是（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

答案：A

三､解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.

17. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数t的取值范围.

答案：（1）（2）

18. 如图，点，在反比例函数图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.

（1）若，求n的值；

（2）求的值；

（3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式.

答案：

19. 某同学在解答题目：“化简并求值，其中”时：解答过程是：；

（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程.

（2）设（n为正整数），考察所求式子的结构特征：

①先化简通项公式；

②求出与S最接近的整数是多少？

答案：（1）不正确，解答过程见解析；（2）①；②当时，S最接近的整数是1或2；当时，S最接近的整数是.

20. 交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1，在中，点D为BC中点，“中线长定理”即.小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作于点E，如图2，在中，，

同理可得：，，

为证明的方便，不妨设，，

∴……

（1）请你完成小明剩2余的证明过程；

理解运用：

（2）①在中，点D为BC的中点，，，，则___________；

②如图3，的半径为6，点A在圆内，且，点B和点C在上，且，点E､F分别为AO，BC的中点，则EF的长为___________；

拓展延伸：

（3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点O），以为直角顶点的的另两个顶点B，C都在上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值.

答案：（1）证明见解析；（2）①，②；（3）10

21. 已知集合A为非空数集，定义：，

（1）若集合，直按写出集合S，T（无需写计算过程）

（2）若集合，，且，求证：

（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.

答案：（1），；（2）见解析；（3）1348.