2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由一元二次不等式、指数不等式可得集合、，再由交集的定义即可得解.

【详解】由题意，，，

所以.

故选：C.

2．命题,则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】由全称命题的否定是特称命题,命题,

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题.

3．若，且，则是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，

，，同时满足，则的终边在三象限．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断.

【详解】因为，故可得或，

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题.

5．已知，，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.

【详解】由对数函数的图像与性质可得

，

，

，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.

6．函数（且 ）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵由得，

∴函数（且 ）的图像恒过定点，

∵点在直线上，∴，∵，

当且仅当，即时取等号，

∴，∴最大值为，

故选D．

【名师点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

7．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象即可得到m的范围.

【详解】函数有两个不同的零点，等价于函数与函数的图象有两个交点，作出函数与的图象，如图所示，

由图可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，所以实数的取值范围是 .

故选B．

【点睛】本题考查函数的零点问题，属中档题.函数零点的几种等价形式：函数的零点函数的图象与轴的交点的横坐标方程的根函数与函数的图象的交点的横坐标．

8．若扇形的圆心角，弦长，则弧长（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解.

【详解】设扇形的半径为，依题意，

弧长.

故选:B.

【点睛】本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题.

9．如图所示，函数y=cos x|tan x|（且）的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据绝对值的定义化简函数式，然后可判断．

【详解】由已知，对照各选项，C是正确．

故选：C．

（也可以根据函数值在三个区间上的正负判断）

10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B．

C． D．－1

【答案】D

【分析】根据图像，先求出，再求出，然后得到，进而求出，最后，直接求函数值即可

【详解】有图得，，，，得，所以，

，利用，

得出，由得，，则有

，所以，

故选：D

【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据图像得到，最后求出函数值，难度属于基础题

11．把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数图象的变换逐步运算即可得解.

【详解】由题意，将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度可得函数的图象，

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到函数图象.

故选：B.

12．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，现有下列结论：

①函数的图象关于直线对称    ②函数的图象关于点对称

③函数在区间上单调递减    ④函数在上有3个零点

正确的结论是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②④

【答案】A

【分析】利用函数的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出、的值，可求得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当时，，结合三角函数的图象可判断④的正误.

【详解】因为函数的最小正周期为，则，则，

将函数的图象向右平移个单位后得到函数

，

由于函数为奇函数，则，

可得.

，，则，,

对于命题①，，

函数的图象关于直线对称，故①正确；

对于命题②，，

函数的图象关于点对称，故②正确；

对于命题③，当时，，

所以函数在区间上单调递减，③正确；

对于命题④，当时，，

函数在上有2个零点，故④错误.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对于三角函数的图象、性质及其图象变换准确把握，要注意整体法的应用.

二、填空题

13．计算：=______．

【答案】1

【分析】结合指数与对数的运算性质即可直接求解．

【详解】

=-1+lg4，

=-1，

=1．

故答案为1．

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．

【答案】[－4，4]

【分析】根据正切函数的单调性可得－1≤tan x≤1，令tan x＝t，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1，1]，

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4，4]．

故答案为：[－4，4]

【点睛】本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题.

15．已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为____．

【答案】

【分析】由同角三角函数的基本关系得sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简求解即可.

【详解】依题意，有：sinθ＝－，

＝＝＝

故答案为.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题.

16．已知定义在R上的偶函数的最小正周期为，且当时，，则_______.

【答案】

【分析】由题周期性和偶函数的性质可得.

【详解】定义在R上的偶函数的最小正周期为，

.

故答案为：.

17．已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

【详解】由可知，

且：，因为对于任意，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

18．设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】当时,,当时,,,,则,进而求解即可

【详解】由题,取零点时, ,即,则当时,,,,所以满足,解得

故答案为：

【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力

三、解答题

19．已知.

（1）化简；

（2）若是第三象限角，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；

（2）由诱导公式可得，再由同角三角函数的平方关系即可得解.

【详解】（1）由题意，

；

（2）∵，∴，

又是第三象限角，

∴即.

20．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】(1)；

(2).

【详解】试题分析：（1）先判断的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出，将所求进行变形，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与的取值范围，确定的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出、，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.

试题解析：（1）因为，所以，于是

（2）因为，故

所以中.

【解析】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.

21．已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调增区间

（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)1.(2) [-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析.

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值．

（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间．

（3）作出函数在上的图象，从图象可看出 ，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围．

【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2

=sin2 +cos2 +sin2 -cos2 +1+cos2

=sin2 +cos2 +1，

又因为T==π，所以．

（2）由2kπ- 2+ 2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ +kπ，k∈Z，

可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z，

（3）作出函数在上的图象如图：

函数g（x）有两个零点，即方程有两解，

亦即曲线与在x∈上有两个交点，

从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，

所以当曲线与在x∈上有两个交点时，

则2 ，即实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．