2020-2021学年天津市六校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市六校高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出集合和的范围，直接求交集即可得解.

【详解】，

，

所以，

故选：B.

2．已知命题：，总有，则为（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，总有 D．，使得

【答案】B

【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题：，总有，

所以：，使得，

故选：B.

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.

3．设，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据可得：或（），利用集合语言和命题语言的对应关系，即可得解.

【详解】由可得：或，

可得或，

所以“，”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

4．函数（且）的图象可能为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.

【解析】1.函数的基本性质；2.函数的图象.

5．设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，进而可得出、、的大小关系.

【详解】，即，，，

因此，.

故选：B.

6．已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由题意，得到在区间上为增函数，且在上恒成立；根据二次函数性质，列出不等式求解，即可求出结果.

【详解】因为在区间上为减函数，

所以有在区间上为增函数，且在上恒成立；

因此，只需，解得.

故选C

【点睛】本题主要考查由复函数函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.

7．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案

【详解】，

因为，，

所以，，

因为，，

所以，，

则．

故选：C

【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

①函数的图象关于点对称

②函数的图象关于直线对称

③函数在单调递减

④该图象向右平移个单位可得的图象

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④

【答案】A

【分析】根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.

【详解】由函数的图象可得，周期

所以，

当时函数取得最大值，即，

所以，则，

又，得 ，

故函数，

对于①，当时，，正确；

对于②，当时，，正确；

对于③，令得，

所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；

对于④，向右平移个单位，，所以不正确；

故选：A.

【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:

（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；

（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.

9．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．

【详解】画出函数的图象如图所示．

不妨令，则，则．

结合图象可得，故．

∴．

故选：D．

【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：

1、确定方程根的个数；

2、求参数的取值范围；

3、求不等式的解集；

4、研究函数性质．

二、填空题

10．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

11．已知函数的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则的值为__________.

【答案】3

【分析】求出函数过的定点坐标，再由即可得解.

【详解】由函数的图象恒过点A，

则A点坐标为，

由点A在角的终边上，

可得，

故答案为：.

12．设函数，若，，则函数的零点的个数是__________.

【答案】2

【分析】根据，，利用二次函数的性质求得，再将的零点问题转化为函数的图象交点问题，利用数形结合法求解.

【详解】因为，

所以当时，函数图象关于对称，

所以，解得，

又，

解得，

所以，

令，即，

在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知，函数的图象交点有2个，

所以的零点的个数有2个，

故答案为：2

13．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】 ，所以

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

14．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为__________.

【答案】

【分析】求出f（t）和g（s）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为求出a的范围．

【详解】对于函数f（x），当x≤0时，f（x）单调递增，由﹣3≤t≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，

当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜t≤3，可得f（t）∈[0，4]，

∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，

对于函数g（x）sinx+cosx+4＝2sin（x）+4，

∵s∈[0，]，∴s∈[，π]，

∴g（s）∈[5，6]，

∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，

∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）成立，故

∴a+4≤6，

解得a≤2，

故答案为：

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

三、解答题

15．设函数的定义域为A，集合.

（1）求集合A，B，并求；

（2）若集合，且，求实数a的取值范围.

【答案】（1），，；（2）.

【分析】（1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解；

（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

又，或，

所以；

（2）因为，所以，

当时，，解得，符合题意；

当时，则；

综上：a的取值范围是.

16．已知.

（1）化简，并求；

（2）若，求的值；

（3）求函数的值域.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）由诱导公式化简可得，进而可得；

（2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解；

（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意可得，

故；

（2）∵，

故

；

（3）因为，

所以，

因为，

所以当时，，当时，

所以的值域为.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.

17．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.

（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；

（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.

【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；

（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；

【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；当x≥40，100x∈N时，

综上，

（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900.综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.

【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.

(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

18．已知函数周期是.

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.

【答案】（1），单调递增区间为，；（2）.

【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得，由，解得，带入正弦函数的递增区间，化简即可得解；

（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得，根据题意只需要，分别在范围内求出的最值即可得解.

【详解】（1）

由，解得

所以，

∵

∴

∴

∴的单调递增区间为，

（2）依题意得

因为，所以

因为当时，恒成立

所以只需转化为求的最大值与最小值

当时，为单调减函数

所以，，

从而，，即

所以m的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：

（1）三角函数基本量的理解应用；

（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；

（3）恒成立思想的理解及转化.

19．已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；

（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.

【分析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；

（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.

【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，，

令，得，

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数在上有零点，所以，解得，

因为，所以的取值为2或3.

（3）因为且，所以且，

因为，

所以的最大值可能是或，

因为

所以，

只需，即，

设，在上单调递增，

又，∴，即，所以，

所以m的取值范围是.

【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.