专题03 离心率范围(最值)模型(原卷版)

这是一份专题03 离心率范围(最值)模型(原卷版)，共8页。

【例题选讲】
[例8] (41)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
答案 B 解析 将x＝c代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)．将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(bc,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|＝eq \f(2bc,a)．因为|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，所以eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)×eq \f(2bc,a)，即b≥eq \f(3,5)c，则b2≥eq \f(9,25)c2，即c2－a2≥eq \f(9,25)c2，即eq \f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq \f(25,16)，所以e≥eq \f(5,4)，故选B．
(42)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
答案 C 解析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵点P到直线l∶4x＋3y＝0的距离不小于eq \f(6,5)，∴eq \f(|3b|,\r(16＋9))≥eq \f(6,5)，解得b≥2．∴c≤eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴0(43)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(eq \r(2)－1，＋∞) B．(0，eq \r(2)－1) C．(eq \r(2)－1，1) D．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
答案 C 解析 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，从而可得y＝±eq \f(b2,a)，不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))．由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，所以tan ∠AF1F2<1，所以tan∠AF1F2＝eq \f(AF2,F1F2)＝eq \f(\f(b2,a),2c)<1，故eq \f(a2－c2,2ac)<1，即e2＋2e－1>0，解得e>eq \r(2)－1或e<－eq \r(2)－1，又因为椭圆中，0(44)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为eq \r(3)，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
答案 A 解析 F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的上下两个焦点，可得2c＝2eq \r(4－m)，短半轴的长：eq \r(m)，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为eq \r(3)，可得eq \f(1,2)×2eq \r(4－m)×eq \r(m)>eq \r(3)，可得m2－4m＋3<0，解得m∈(1，3)，则椭圆C的离心率为：e＝eq \f(\r(4－m),2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))．
(45)已知椭圆 QUOTE x2a2 ＋ QUOTE y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使 QUOTE asin∠PF1F2 ＝ QUOTE csin∠PF2F1 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
思路点拨 在△PF1F2中，使用正弦定理建立|PF1|，|PF2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF2|，利用a－c<|PF2|答案 ( QUOTE 2 －1，1) 解析 根据已知条件∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0，即点P不会是椭圆的左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形，在△PF1F2中，由正弦定理得 QUOTE |PF2|sin∠PF1F2 ＝ QUOTE |PF1|sin∠PF2F1 ，则由已知，得 QUOTE a|PF2| ＝ QUOTE c|PF1| ，即|PF1|＝ QUOTE ca |PF2|，①．根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，②．由①②解得，|PF2|＝ QUOTE 2a1+ca ＝ QUOTE 2a2a+c ，因为a－c<|PF2|0，即e2＋2e－1>0，解得e<－ QUOTE 2 －1或e> QUOTE 2 －1，又e∈(0，1)，故椭圆的离心率e∈( QUOTE 2 －1，1)．
(46)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2 解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2．
(47)已知双曲线方程为 QUOTE x2m2+4 － QUOTE y2b2 ＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1， QUOTE 62 ] B．[ QUOTE 62 ，＋∞) C．(1， QUOTE 62 ) D．( QUOTE (((((62 ，＋∞)
答案 A 解析 过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为 QUOTE 2b2a ＝ QUOTE 2b2m2+4 ，a2＝m2＋4≥4，2a≥4>2，所以过焦点的最短弦长为 QUOTE 2b2a ＝ QUOTE 2b2m2+4 =2，即b2＝ QUOTE m2+4 ≥2，e＝ QUOTE ca = QUOTE m2+b2+4m2+4 ＝ QUOTE b4+b2b2 ＝，0< QUOTE 1b2 ≤ QUOTE 12 ，所以1<1+ QUOTE 1b2 ≤ QUOTE 32 ，1< QUOTE 1+1b2 ≤ QUOTE 62 ，即e∈(1， QUOTE 62 ]．故选A．
(48)椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2，3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－eq \f(1,e)的最小值是________．
答案 －eq \f(\r(2),2) 解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，∴2b2≤a2≤3b2，即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴eq \f(1,2)≤eq \f(c2,a2)≤eq \f(2,3)，即eq \f(\r(2),2)≤e≤eq \f(\r(6),3)．令f(x)＝x－eq \f(1,x)，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3)))上是增函数，∴当e＝eq \f(\r(2),2)时，e－eq \f(1,e)取得最小值eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)＝－eq \f(\r(2),2)．
(49)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(2\r(10),5)
答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)，与直线l的方程联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq \r(5)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq \f(\r(5),5)．
方法2 A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2eq \r(5)，所以椭圆C的离心率的最大值为eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)．故选A．
(50)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案 eq \f(7,5) 解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a．又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝eq \f(12,5)a，|PF2|＝eq \f(2,5)a．当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(\f(144,25)a2＋\f(4,25)a2－4c2,2·\f(12,5)a·\f(2,5)a)＝eq \f(37,12)－eq \f(25,12)e2，即e2＝eq \f(37,25)－eq \f(12,25)cs∠F1PF2．∵cs∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7,5)))．当P，F1，F2三点共线时，∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(7,5)，综上，e的最大值为eq \f(7,5)．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．
【对点训练】
47．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的
射影恰好为右焦点F．若eq \f(1,3)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
48．已知双曲线C：eq \f(x2,a2＋1)－y2＝1(a>0)的右顶点为A，O为坐标原点，若|OA|<2，则双曲线C的离心率的
取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．(1，eq \r(2))
49．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，
B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
50．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|eq \(PF1,\s\up8(→))＋eq \(PF2,\s\up8(→))|≥3|eq \(F1F2,\s\up8(→))|
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．151．已知点F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲
线交于M，N两点，若eq \(MF,\s\up7(―→))1·eq \(NF,\s\up7(―→))1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，eq \r(2)＋1) B．(1，eq \r(2)＋1) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
52．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离
心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
53．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2
交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
54．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，
则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
55．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的
等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．（eq \f(\r(3)－1,2)，1） B．（eq \f(\r(3)－1,2)，eq \f(1,2)） C．（eq \f(1,2)，1） D．（0，eq \f(1,2)）
56．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一
个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．
57．已知点F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N
两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B．[2，eq \r(3)＋1] C．[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D．[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
58．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线
离心率的取值范围为________.
59．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的
中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
60．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆
的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
61．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2
＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
62．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝c2，则
该椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
63．已知双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c．若双曲线M的右支上
存在点P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(3c,sin∠PF2F1)，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) C．(1，2) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
64．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得
eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，eq \r(2)－1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．(eq \r(2)－1，1)
65．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)
＝eq \f(a2,c2)，该椭圆的离心率的取值范围为