数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式优质第一课时学案设计

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式

第1课时基本不等式的证明

【课程标准】

1.掌握重要不等式

2.掌握基本不等式的内容及证明方法

【知识要点归纳】

1.重要不等式与基本不等式

注意：基本不等式≥(a>0，b>0)

(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：

①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝；

②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b.

(3)区分均值不等式和重要不等式的成立条件

2.基本不等式的几何证明

【经典例题】

例1 给出下面三个推导过程：

①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；

②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；

③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.

其中正确的推导过程为(　　)

A．①②  B．②③  C．②  D．①③

例2

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

例3 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<<  B.a<<<b

C.a<<b<  D.<a<<b

例4

例5 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.

例6 （1）

（2）已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．当时，的最小值为　　

A． B． C． D．0

2．已知，则的最小值为　　

A．3 B． C． D．

3．下列不等式恒成立的是　　

A． B． C． D．

4．下列函数中最小值为2的函数是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．若正实数、满足，则的最小值是　　．

6．已知，，，则的最大值是　　，的最小值是　　．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．当时，的最小值为　　

A． B． C． D．0

【分析】由已知先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值是0．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．

2．已知，则的最小值为　　

A．3 B． C． D．

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为，

所以，

当且仅当即时取等号，

故选：．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．

3．下列不等式恒成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】对于和，分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解；

对于和，举出反例即可得解．

【解答】解：对于，由，知，即错误；

对于，由，知，即正确；

对于，当，时，，，此时，即错误；

对于，当，时，，，此时，即错误，

故选：．

【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．

4．下列函数中最小值为2的函数是　　

A． B． C． D．

【分析】利用基本不等式逐项求解即可，需要注意取等的条件．

【解答】解：对于，当时，，当且仅当时等号成立，

当时，，当且仅当时等号成立，即错误；

对于，，当且仅当时等号成立，而，即错误；

对于，，

令，则在，上单调递增，所以，即错误；

对于，，当且仅当时等号成立，即正确．

故选：．

【点评】本题考查利用基本不等式的性质求最值，考查学生的运算求解能力，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．若正实数、满足，则的最小值是　8　．

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为正实数、满足，则，

当且仅当且即，时取等号，

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．

6．已知，，，则的最大值是　4　，的最小值是　　．

【分析】利用求解最大值，，再利用基本不等式求解即可．

【解答】解：，，且，，当且仅当时取等号，

的最大值是4；

，

当且仅当即，时，的最小值是．

故答案为：4；．

【点评】本题考查了不等式在求最值中的应用，属于基础题．