第三章 函数的概念与性质_________函数的性质学案

第二章 函数的概念与性质

考点3 函数的单调性

【知识要点】

1.增函数与减函数的定义

2.判断函数单调性的方法

（1）定义法                

（2）图象法：图象法判断函数单调性也就是看函数的图象从左到右是上升还是下降

总结：基本初等函数的单调区间如下表所示：

（3）常见规律：增+增=增；减+减=减；加负号、取倒数改变函数单调性。

【例题精讲】

1．函数的单调递增区间是　　

A．， B．， C．，， D．

2．已知函数，则下列结论正确的是　　

A．递增区间是 B．递减区间是 

C．递增区间是 D．递增区间是

3．下列函数在上是增函数的是　　

A． B． C． D．

4．下列函数中，在定义域内单调递增的是　　

A． B． C． D．

5．已知与函数在区间，上都是减函数，则的取值范围为　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

6．函数是定义在上的增函数，则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

7．已知函数是定义域上的递减函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．若函数与在区间，上都是减函数，则的取值范围是　　

A． B． C．， D．，，

9．设，已知函数是定义在，上的减函数，且，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

10．对于函数，下列描述正确的选项是　　

A．减函数且值域为 B．增函数且值域为 

C．减函数且值域为 D．增函数且值域为

11．设函数，且（1）．

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）证明：函数在区间上单调递增．

考点4 奇偶性

【知识要点】

1、函数的奇偶性

2.判断奇偶性的方法

（1）定义法：

（2）图象法：根据函数图象对称特点判断函数的奇偶性

【例题精讲】

1．下列函数为偶函数的是　　

A． B． C． D．

2．下列函数为奇函数，且定义域为的函数是　　

A． B． 

C． D．

3．函数与函数的图象关于　　对称

A．轴 B．轴 C．坐标原点 D．不能确定

4．函数的图象关于　　

A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称

5．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是　　

A． B． C． D．

6．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是　　

A． B． C． D．

7．已知函数为偶函数，当时，，则　　

A． B．12 C．36 D．80

8．已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为　　

A． B． C． D．

9．已知为定义在实数集上的奇函数，且在内是增函数，又（2），则不等式的解集是　　

A．，，， B．，， 

C．，， D．，，，

考点5 最值

【知识要点】

函数的最大值与最小值定义

【例题精讲】

1．函数，，的最小值是　　

A． B． C．1 D．2

2．已知函数的最大值为，最小值为，则　　

A． B． C．5 D．10

3．设函数，．用表示，中的较大者，记为，，则的最小值是　　

A．1 B．3 C．0 D．

4．已知函数，，，函数的最大值、最小值分别为，，则　　

A．0 B．2 C．3 D．4

5．用，表示，两个数中的较小者，已知函数，，，，则的最值是　　

A．最大值为3，最小值为 B．最大值为3，最小值为1 

C．最大值为，无最小值 D．最大值为，无最小值

考点6 幂函数

【知识要点】

1. 幂函数的概念

一般地，函数       叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

2. 幂函数的图象

幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

3.幂函数的性质

【例题精讲】

1．已知幂函数的图象过点，则（2）　　

A．4 B．8 C．9 D．16

2．已知幂函数在上是减函数，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．1或

3．已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，则的值为　　

A． B．2 C．0 D．1

4．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是　　

A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3

5．若函数是幂函数，且图象关于原点对称，则实数为　　

A．2 B． C．4 D．2或

6．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

参考答案

1．【解答】解：由，

可知函数开口向上，对称轴，且．

可得，单调递减，

原函数的单调递增区间，．

故选：．

2．【解答】解：，

当时，的开口向下，对称轴为，

单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，的开口向上，对称轴为，

单调递增区间为，单调递减区间为，

综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．

故选：．

3．【解答】解：对于：函数在递减，

对于：函数在递减，在递增，

对于：函数在递增，

对于：函数在递增，在递增，

故选：．

4．【解答】解：对于：函数在定义域不单调，不合题意，

对于：函数在，递增，符合题意，

对于：函数在递减，在递增，不合题意，

对于：函数在递减，在递增，不合题意，

故选：．

5．【解答】解：根据题意，，为开口向下的二次函数，其对称轴为，

若在区间，上是减函数，必有，

，在区间，上为减函数，

若在区间，上是减函数，必有，即，

综上，的取值范围为，．

故选：．

6．【解答】解：时，，若在，递增，

则

时，，

对称轴，在递增，

若在递增，则，

综上：，

故选：．

7．【解答】解：因为是定义域上的递减函数，

所以，

解得，．

故选：．

8．【解答】解：根据题意，，为开口向下对称轴为的二次函数，

若在区间，上是减函数，必有，

，为指数函数，

若在区间，上是减函数，则有，解可得，

综合可得：，即的取值范围为，，

故选：．

9．【解答】解：因为函数是定义在，上的减函数，且，

所以，

解得，．

故选：．

10．【解答】解：因为单调递增，

因为，

所以，

，

故选：．

二．解答题（共1小题）

11．【解答】解：由（1），得，解得：，故，

（1）的定义域是，，，关于原点对称，

且，

故是奇函数；

（2）设，则，

，

，

，，

，

在区间，上单调递增．

考点4

布1．【解答】解：是偶函数，是奇函数与是非奇非偶函数．

故选：．

2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，定义域为，满足，为偶函数，不符合题意，

对于，，是余弦函数，是偶函数，不符合题意，

对于，，定义域为，满足，是奇函数，符合题意，

对于，，是正切函数，其定义域不是，不符合题意，

故选：．

3．【解答】解：因为函数关于对称的函数为，

所以函数与函数的图象关于轴对称．

故选：．

4．【解答】解：函数，

定义域为：关于原点对称，

且，

函数为偶函数，图象关于轴对称，

故选：．

5．【解答】解：对于是偶函数，故不满足条件；

对于的定义域为，，为奇函数，

当时，单调递增，当时，单调递增，

且，则在上单调递增，故满足条件；

对于是奇函数，在和上单调递增，故不满足条件；

对于；是减函数，故不满足条件．

故选：．

6．【解答】解：根据题意，当时，则，则，

又由为偶函数，则，

故选：．

7．【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则有（4），

当时，，则（4），

故，

故选：．

8．【解答】解：因为函数是定义域为的奇函数，

所以（1），即，解得，

所以，在上为减函数，

不等式，

即，

即，

所以，解得，

即不等式的解集为．

故选：．

9．【解答】解：为奇函数，且满足（2），且在是增函数，

（2），在内是增函数

函数图象示意图：

，

或，

根据函数图象可得或，

解得或或

即不等式的解集为，，，．

故选：．

考点5

1．【解答】解：，

因为，，所以，，

则，所以，

故函数的最小值为，

故选：．

2．【解答】解：由题意，设，

则

，

是上的奇函数，

可得的最大值和最小值的和为0，

那么，，

．

故选：．

3．【解答】解：令，解得或，

则，

当或时，，

当时，函数没有最小值，

综上：函数的最小值为1，

故选：．

4．【解答】解：，

令，则，

可知在，上为奇函数，又在，上为偶函数，

在，上为奇函数，

设在，上的最大值为，

则最小值为，可得，，

则．

故选：．

5．【解答】解：，

由，与

得交点坐标为，，，，

如图所示：由图象，可知最大值为，无最小值，

故选：．

考点6 制发

1．【解答】解：由幂函数，

因为幂函数的图象经过点，

所以，解得，则，

则（2），

故选：．

2．【解答】解：幂函数在上是减函数，

，且，

求得，

故选：．

3．【解答】解：由已知函数是幂函数，可得，解得或，

当时，；当时，．

对任意的、，且，满足，

故函数是单调增函数，

，．

故选：．

4．【解答】解：由幂函数在第一象限内的图象知，

图中对应的，对应的，对应的；

结合选项知，指数的值依次可以是，和3．

故选：．

5．【解答】解：函数是幂函数，

，

即，

解得或，

幂函数图象关于原点对称，

为奇数，

，

故选：．

6．【解答】解：幂函数经过点，

，

即

．解得或．

又，．

，则函数的定义域为，，并且在定义域上为增函数．

由得解得．

的取值范围为，．

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布

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